Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Basit özyinelemeli faktöriyel fonksiyonu fact(n) = n × fact(n − 1) ne kadar yığın (stack) alanı kullanır?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

T(n) = 2T(n/2) + n log n yinelemesinin çözümü nedir?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Veri yapılarıOrta

Bir kuyruk iki yığınla gerçekleştiriliyor: "in" yığınına push edilir, "out" yığınından pop edilir ve "out" boşaldığında "in"den doldurulur. İşlem başına amortize maliyet nedir?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
4.Veri yapılarıZor

Bir kırmızı-siyah ağaç hangi özelliği sağlamalıdır?

  1. AHer düğüm kırmızı olmalıdır
  2. BKök kırmızı olmalıdır
  3. CHer kırmızı düğümün çocukları kırmızı olmalıdır, bu yüzden kırmızı düğümler yapraklara kadar kesintisiz zincirler oluşturur
  4. DBir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir
5.Graf kuramıOrta

Bir ağacın derecesi 3 olan 4 köşe, derecesi 4 olan 2 köşe, derecesi 5 olan 3 köşe vardır ve diğer tüm köşeleri yapraktır (derece 1). Kaç yaprağı (L) vardır?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 5
L =
6.Graf kuramıZor
ABCDE

C köşesinden E köşesine giden 3 uzunluğunda kaç gezinti vardır? Bir gezinti köşeleri ve kenarları tekrar edebilir. Sayıya N deyin.

M = komşuluk matrisiL = 3
N =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · O(n)

Cevap neden bu

Herhangi bir dönüş olmadan önce özyineleme n çağrı derinliğine ulaşır ve her çağrının bir yığın çerçevesine ihtiyacı vardır, bu yüzden O(n) alan kullanır.

Cevap

D · O(n)
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · Θ(n log² n)

Cevap neden bu

k. seviye yaklaşık n log(n / 2ᵏ) iş yapar ve log n seviye üzerinden toplamak Θ(n log² n) verir; bu, ana teoremin genişletilmiş ikinci durumudur.

Cevap

B · Θ(n log² n)
3.Veri yapıları

Cevap: B · O(1)

Cevap neden bu

Her eleman toplamda en fazla iki kez push ve pop edilir; bu nedenle tek bir doldurma O(n) sürebilse de bir dizi üzerindeki ortalama O(1)'dir.

Cevap

B · O(1)
4.Veri yapıları

Cevap: D · Bir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir

Cevap neden bu

Kırmızı-siyah kuralları: düğümler kırmızı ya da siyahtır, kök siyahtır, kırmızı düğümlerin çocukları siyahtır ve tüm yolların siyah yüksekliği eşittir; bu da yüksekliği ≤ 2 log₂(n + 1) tutar.

Cevap

D · Bir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir
5.Graf kuramı

Cevap: L = 19

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Bir ağaç için el sıkışma lemması

L + 35 = 2(L + 9) − 2
L = 19

Cevap

L = 19

Kısayol: L = 2 + Σ (d − 2); toplam, derecesi d ≥ 3 olan köşeler üzerindendir.

6.Graf kuramı

Cevap: N = 5

Dereceler: bir köşenin derecesi ona değen kenar sayısıdır. Her kenarın iki ucu vardır; bu yüzden dereceler kenar sayısının iki katını verecek şekilde toplanır: Σ deg(v) = 2|E| (el sıkışma lemması). Dolayısıyla derecesi tek olan köşelerin sayısı çifttir. Kn grafının n(n − 1)/2 kenarı vardır, n köşeli k-düzgün bir grafın nk/2 kenarı vardır ve n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır.

Komşuluk matrisi

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Bir adım daha

(M³)CE = 1·0 + 1·1 + 2·1 + 2·1 + 1·0 = 5

Cevap

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms