Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Ağırlıksız bir grafta genişlik öncelikli arama neyi bulur?

  1. ATüm graflarda bir topolojik sırayı
  2. BMinimum kapsayan ağacı
  3. CBaşlangıç düğümünden kenar sayısı cinsinden en kısa yolları
  4. DNegatif kenar ağırlıkları içeren graflardaki en kısa yolları
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Eklemeli sıralama sıralı girdide O(n)'de çalışır. Bu, karşılaştırmalı sıralama için Ω(n log n) alt sınırıyla çelişir mi?

  1. AEvet, ama yalnızca 100'den kısa diziler için
  2. BHayır, alt sınır her girdiye değil, tüm girdiler üzerinden en kötü duruma uygulanır
  3. CEvet, dolayısıyla alt sınır yanlıştır
  4. DHayır, çünkü eklemeli sıralama bir karşılaştırmalı sıralama değildir
3.Veri yapılarıOrta

AVL ağaçları ve kırmızı-siyah ağaçlar neyi garanti eder?

  1. AHiçbir düğümün iki çocuğu olmamasını
  2. BYeniden dengeleme sayesinde O(log n) yükseklik
  3. CAnahtarların ekleme sırasıyla saklanmasını
  4. DHer durumda sabit zamanlı arama
4.Veri yapılarıZor

Bir AVL düğümü, sol çocuğunun sağ alt ağacı fazla yükseldiği için dengesiz (sol-sağ durumu). Hangi düzeltme uygulanır?

  1. ASol çocukta sola döndürme, ardından düğümde sağa döndürme
  2. BSol çocukta sağa döndürme, ardından düğümde sola döndürme
  3. CDüğümde tek bir sağa döndürme
  4. DDüğümde tek bir sola döndürme
5.Graf kuramıOrta

Bir ağacın derecesi 4 olan 3 köşe vardır ve diğer tüm köşeleri yapraktır (derece 1). Kaç yaprağı (L) vardır?

3 × deg 4
L =
6.Graf kuramıZor
417161831910ABCDEF

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: C · Başlangıç düğümünden kenar sayısı cinsinden en kısa yolları

Cevap neden bu

BFS düğümleri kaynaktan uzaklıklarına (kenar sayısı) göre sırayla ziyaret eder, bu yüzden ağırlıksız en kısa yolları O(V + E) sürede bulur.

Cevap

C · Başlangıç düğümünden kenar sayısı cinsinden en kısa yolları
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · Hayır, alt sınır her girdiye değil, tüm girdiler üzerinden en kötü duruma uygulanır

Cevap neden bu

Sınır, her karşılaştırmalı sıralamanın n boyutundaki bir girdide yaklaşık n log n karşılaştırma gerektirdiğini söyler; özel girdiler çok daha hızlı olabilir.

Cevap

B · Hayır, alt sınır her girdiye değil, tüm girdiler üzerinden en kötü duruma uygulanır
3.Veri yapıları

Cevap: B · Yeniden dengeleme sayesinde O(log n) yükseklik

Cevap neden bu

Kendini dengeleyen ağaçlar yüksekliği logaritmik tutar; bu nedenle arama, ekleme ve silme en kötü durumda O(log n) olur.

Cevap

B · Yeniden dengeleme sayesinde O(log n) yükseklik
4.Veri yapıları

Cevap: A · Sol çocukta sola döndürme, ardından düğümde sağa döndürme

Cevap neden bu

İlk döndürme sol-sağ durumunu sol-sol durumuna dönüştürür; bu da ardından dengesiz düğümde bir sağa döndürmeyle düzeltilir.

Cevap

A · Sol çocukta sola döndürme, ardından düğümde sağa döndürme
5.Graf kuramı

Cevap: L = 8

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Bir ağaç için el sıkışma lemması

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Cevap

L = 8

Kısayol: L = 2 + Σ (d − 2); toplam, derecesi d ≥ 3 olan köşeler üzerindendir.

6.Graf kuramı

Cevap: W = 35

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

DF (1): al
DE (3): al
AC (4): al
EF (9): atla, döngü kapatır
BE (10): al
BD (16): atla, döngü kapatır
BC (17): al

Toplam ağırlık

W = 1 + 3 + 4 + 10 + 17 = 35

Cevap

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms