Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

V düğümlü ve E kenarlı bir çizgede Bellman–Ford algoritmasının zaman karmaşıklığı nedir?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V × E)
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Gezgin satıcı problemi nasıl sınıflandırılır?

  1. ADijkstra algoritması her şehri bir kez ziyaret ederek onu çözdüğü için P'dedir
  2. BKarar versiyonu P'de, optimizasyon versiyonu ise NP-tamdır
  3. CKarar versiyonu NP-tam, optimizasyon versiyonu NP-zordur
  4. DKarar verilemezdir
3.Veri yapılarıOrta

7 boyutlu bir karma tablosu h(k) = k mod 7 ve doğrusal yoklama (linear probing) kullanıyor. 10 eklendikten sonra 17 nerede saklanır?

  1. Aİndeks 0
  2. Bİndeks 4
  3. Cİndeks 3
  4. Dİndeks 6
4.Veri yapılarıZor

Rütbeye göre birleştirme (union by rank) veya yol sıkıştırma olmadan, n elemanlı bir union-find yapısında tek bir find işleminin en kötü durum maliyeti nedir?

  1. AO(log n)
  2. BO(α(n))
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.Graf kuramıOrta

Bir ağacın derecesi 4 olan 2 köşe, derecesi 2 olan 4 köşe vardır ve diğer tüm köşeleri yapraktır (derece 1). Kaç yaprağı (L) vardır?

2 × deg 44 × deg 2
L =
6.Graf kuramıZor
1819177320118519ABCDEFG

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · O(V × E)

Cevap neden bu

V − 1 turun her biri E kenarın tümünü gevşetir, bu da O(VE) verir; karşılığında negatif kenar ağırlıklarıyla başa çıkar.

Cevap

D · O(V × E)
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: C · Karar versiyonu NP-tam, optimizasyon versiyonu NP-zordur

Cevap neden bu

"Uzunluğu en fazla k olan bir tur var mı?" sorusu NP-tamdır; en kısa turu bulmak en az onun kadar zor olduğu için NP-zordur.

Cevap

C · Karar versiyonu NP-tam, optimizasyon versiyonu NP-zordur
3.Veri yapıları

Cevap: B · İndeks 4

Cevap neden bu

10 mod 7 = 3 ve 17 mod 7 = 3'tür; indeks 3 doludur, bu nedenle doğrusal yoklama bir sonraki yuvayı, indeks 4'ü dener.

Cevap

B · İndeks 4
4.Veri yapıları

Cevap: D · O(n)

Cevap neden bu

Saf birleştirmeler ağaçları uzun bir zincire bağlayabilir, bu nedenle find n − 1 ebeveyn işaretçisini izleyebilir; iki sezgisel yöntem bunu sabite yaklaştırır.

Cevap

D · O(n)
5.Graf kuramı

Cevap: L = 6

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Bir ağaç için el sıkışma lemması

L + 16 = 2(L + 6) − 2
L = 6

Cevap

L = 6

Kısayol: L = 2 + Σ (d − 2); toplam, derecesi d ≥ 3 olan köşeler üzerindendir.

6.Graf kuramı

Cevap: W = 45

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

GD (1): al
CE (3): al
GC (5): al
BD (7): al
GB (8): atla, döngü kapatır
GE (9): atla, döngü kapatır
EF (11): al
BC (17): atla, döngü kapatır
AB (18): al

Toplam ağırlık

W = 1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 18 = 45

Cevap

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms