Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Ağırlıksız bir grafta genişlik öncelikli arama neyi bulur?

  1. ANegatif kenar ağırlıkları içeren graflardaki en kısa yolları
  2. BTüm graflarda bir topolojik sırayı
  3. CMinimum kapsayan ağacı
  4. DBaşlangıç düğümünden kenar sayısı cinsinden en kısa yolları
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Yalnızca son iki değeri tutan bir döngüyle n. Fibonacci sayısını hesaplamanın zaman ve alan maliyetleri nedir?

  1. AO(n) zaman ve O(n) alan
  2. BO(n) zaman ve O(1) alan
  3. CO(2ⁿ) zaman ve O(1) alan
  4. DO(log n) zaman ve O(n) alan
3.Veri yapılarıOrta

Çalışan bir program etkin fonksiyon çağrılarını ve yerel değişkenlerini izlemek için hangi veri yapısını kullanır?

  1. AFonksiyonlardan oluşan bir karma tablosu
  2. BÇerçevelerden oluşan bir ikili arama ağacı
  3. CHeap bellek kuyruğu
  4. DÇağrı yığını (call stack)
4.Veri yapılarıZor

Dinamik bir dizi dolduğunda iki katına çıkıyor. Birçok gerçekleştirme onu neden yarısı dolu olduğunda değil, dörtte biri dolu olduğunda küçültür?

  1. ABellek ayırıcı belleği yalnızca bir bloğun dörtte biri kadar parçalar hâlinde serbest bırakabildiği için
  2. BDiziyi sıralı tutmak için
  3. CPush ve pop işlemleri sınır yakınında art arda geldiğinde tekrarlanan yeniden boyutlandırmadan kaçınmak için
  4. DYarıda yarıya indirmek eleman kaybına yol açacağı için
5.Graf kuramıOrta

Bağlantılı bir grafın 12 köşesi ve 12 kenarı vardır. Bir kapsayan ağaç kalması için kaç kenar (k) kaldırılmalıdır?

|V| = 12|E| = 12
k =
6.Graf kuramıZor
71341314121258ABCDEF

Ağırlıklı grafta A’dan F köşesine en kısa yolun uzunluğunu (d(F)) bulmak için Dijkstra algoritmasını kullanın.

başlangıç: Abitiş: F
d(F) =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · Başlangıç düğümünden kenar sayısı cinsinden en kısa yolları

Cevap neden bu

BFS düğümleri kaynaktan uzaklıklarına (kenar sayısı) göre sırayla ziyaret eder, bu yüzden ağırlıksız en kısa yolları O(V + E) sürede bulur.

Cevap

D · Başlangıç düğümünden kenar sayısı cinsinden en kısa yolları
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · O(n) zaman ve O(1) alan

Cevap neden bu

Her adım yalnızca önceki iki değere ihtiyaç duyar, bu yüzden aşağıdan yukarıya yöntemin tablosu iki değişkenle değiştirilebilir.

Cevap

B · O(n) zaman ve O(1) alan
3.Veri yapıları

Cevap: D · Çağrı yığını (call stack)

Cevap neden bu

Her çağrı bir yığın çerçevesi push eder ve her dönüş onu pop eder; en son çağrının ilk bitmesinin nedeni budur.

Cevap

D · Çağrı yığını (call stack)
4.Veri yapıları

Cevap: C · Push ve pop işlemleri sınır yakınında art arda geldiğinde tekrarlanan yeniden boyutlandırmadan kaçınmak için

Cevap neden bu

Yarıda küçültmek böyle bir dizide her işlemde yeniden boyutlandırmayı tetikleyebilirdi; 1/4 ile dolu arasındaki aralık amortize maliyeti O(1) tutar.

Cevap

C · Push ve pop işlemleri sınır yakınında art arda geldiğinde tekrarlanan yeniden boyutlandırmadan kaçınmak için
5.Graf kuramı

Cevap: k = 1

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Kapsayan ağacın kenarları

12 − 1 = 11

Kaldırılacak kenarlar

k = 12 − 11 = 1

Cevap

k = 1
6.Graf kuramı

Cevap: d(F) = 20

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Dijkstra tur tur

Her satır: kesinleşen köşe, kesin uzaklığı ve uzaklığı iyileşen komşular.

A (0): B: 7, C: 13
B (7): C: 11, D: 20, E: 15
C (11)
E (15): F: 20
D (20)
F (20)

En kısa yol

A → B → E → F
d(F) = 20

Cevap

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms