Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

İkili arama 1,000,000 elemanlı sıralı bir dizide en kötü durumda yaklaşık kaç karşılaştırma gerektirir?

  1. AYaklaşık 20
  2. BYaklaşık 100
  3. CYaklaşık 500,000
  4. DYaklaşık 1,000
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

V düğümlü ve E kenarlı bir çizgede ikili yığınla Dijkstra algoritmasının çalışma süresi nedir?

  1. AO(V + E)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V³)
3.Veri yapılarıOrta

İkili min-heap'te extract-min nasıl çalışır?

  1. AYeni en küçük eleman için tüm yapraklar aranır
  2. BDizinin son elemanı çıkarılır
  3. CSon eleman köke taşınır ve aşağı kaydırılır
  4. DKök çıkarılır ve tüm elemanlar bir konum sola kaydırılır
4.Veri yapılarıZor

Öbek sıralaması (heapsort) hakkında hangi ifade doğrudur?

  1. AYerinde, en kötü durumda O(n log n) sürede sıralar, ancak kararlı değildir
  2. BHer girdide O(n) sürede çalışır
  3. CKararlıdır ve O(n) ek bellek gerektirir
  4. DEk depolama olarak bir ikili arama ağacına ihtiyaç duyar, bu yüzden O(n) ek bellek kullanır
5.Graf kuramıOrta

Bir ağacın derecesi 3 olan 3 köşe, derecesi 4 olan 3 köşe, derecesi 5 olan 2 köşe vardır ve diğer tüm köşeleri yapraktır (derece 1). Kaç yaprağı (L) vardır?

3 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.Graf kuramıZor
106811914112ABCDEF

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · Yaklaşık 20

Cevap neden bu

220 ≈ 1,048,576, bu yüzden yaklaşık 20 kez yarıya indirdikten sonra yalnızca bir eleman kalır.

Cevap

A · Yaklaşık 20
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · O((V + E) log V)

Cevap neden bu

V extract-min ve en fazla E decrease-key işlemi vardır, her biri O(log V); Fibonacci yığını bunu O(E + V log V)'ye iyileştirir.

Cevap

B · O((V + E) log V)
3.Veri yapıları

Cevap: C · Son eleman köke taşınır ve aşağı kaydırılır

Cevap neden bu

Son eleman kökteki boşluğu doldurur ve öbek özelliği sağlanana kadar küçük çocuğuyla yer değiştirir; bu O(log n) sürer.

Cevap

C · Son eleman köke taşınır ve aşağı kaydırılır
4.Veri yapıları

Cevap: A · Yerinde, en kötü durumda O(n log n) sürede sıralar, ancak kararlı değildir

Cevap neden bu

Öbek sıralaması bir max-heap oluşturur ve aynı dizi içinde en büyük elemanı n kez çıkarır; uzun mesafeli yer değiştirmeler eşit anahtarların sırasını değiştirebilir.

Cevap

A · Yerinde, en kötü durumda O(n log n) sürede sıralar, ancak kararlı değildir
5.Graf kuramı

Cevap: L = 17

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Bir ağaç için el sıkışma lemması

L + 31 = 2(L + 8) − 2
L = 17

Cevap

L = 17

Kısayol: L = 2 + Σ (d − 2); toplam, derecesi d ≥ 3 olan köşeler üzerindendir.

6.Graf kuramı

Cevap: W = 32

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

CE (1): al
BE (2): al
BC (6): atla, döngü kapatır
BD (8): al
AC (10): al
EF (11): al

Toplam ağırlık

W = 1 + 2 + 8 + 10 + 11 = 32

Cevap

W = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms