Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Hızlı sıralamanın (quicksort) en kötü durum zaman karmaşıklığı nedir?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

P ve NP hakkında hangi ifade doğrudur?

  1. ANP problemlerinin çözümleri hızlıca doğrulanamaz
  2. BP'deki her problem aynı zamanda NP'dedir
  3. CP ≠ NP olduğu kanıtlanmıştır
  4. DNP, "polinom olmayan" (not polynomial) anlamına gelir
3.Veri yapılarıOrta

V köşeli bir graf için komşuluk matrisi ne kadar bellek kullanır?

  1. AO(log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E)
4.Veri yapılarıZor

Rütbeye göre birleştirme (union by rank) veya yol sıkıştırma olmadan, n elemanlı bir union-find yapısında tek bir find işleminin en kötü durum maliyeti nedir?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(n)
5.Graf kuramıOrta

K4 tam grafının kaç farklı Hamilton devresi (H) vardır? Yalnızca başlangıç köşesi ya da yönü farklı olan devreler aynı sayılır.

K4
H =
6.Graf kuramıZor
202914131310ABCDEF

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: C · O(n²)

Cevap neden bu

Sürekli kötü pivotlarla (ör. zaten sıralı girdi ve ilk elemanın pivot seçilmesi) bölümler dengesiz olur ve O(n²) elde edilir. Ortalama durum O(n log n)'dir.

Cevap

C · O(n²)
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · P'deki her problem aynı zamanda NP'dedir

Cevap neden bu

P ⊆ NP: bir problemi hızlıca çözebiliyorsanız, bir çözümü de hızlıca doğrulayabilirsiniz. P = NP olup olmadığı hâlâ açık bir sorudur.

Cevap

B · P'deki her problem aynı zamanda NP'dedir
3.Veri yapıları

Cevap: B · O(V²)

Cevap neden bu

Komşuluk matrisi V × V giriş saklar ve yoğun graflar için verimlidir; komşuluk listeleri O(V + E) kullanır ve seyrek graflar için daha iyidir.

Cevap

B · O(V²)
4.Veri yapıları

Cevap: D · O(n)

Cevap neden bu

Saf birleştirmeler ağaçları uzun bir zincire bağlayabilir, bu nedenle find n − 1 ebeveyn işaretçisini izleyebilir; iki sezgisel yöntem bunu sabite yaklaştırır.

Cevap

D · O(n)
5.Graf kuramı

Cevap: H = 3

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Sayın

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Cevap

H = 3
6.Graf kuramı

Cevap: W = 35

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

DE (1): al
BC (2): al
DF (3): al
BD (9): al
BE (10): atla, döngü kapatır
EF (13): atla, döngü kapatır
CE (14): atla, döngü kapatır
AB (20): al

Toplam ağırlık

W = 1 + 2 + 3 + 9 + 20 = 35

Cevap

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms