Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 20 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
54 km/h hızla giden bir otomobil, durana kadar 4 m/s² sabit yavaşlamayla fren yapıyor. Fren mesafesi s değerini bulun.
Bir top, yerden 40 m yükseklikteki bir çatının kenarından 5 m/s hızla düşey olarak yukarı atılıyor. Hava direncini ihmal edin ve g = 9,81 m/s² alın. Yerden en büyük yükseklik hmax değerini bulun.
Bir kutu düz bir zeminde 7 m/s ilk hızla kayıyor ve 17 m sonra duruyor. g = 9,81 m/s² alın. Kinetik sürtünme katsayısı μ değerini bulun.
Düz bir zemindeki iki blok hafif yatay bir iple bağlıdır. 115 N’luk yatay bir kuvvet öndeki 8 kg’lık bloğu çekiyor; 1 kg’lık blok arkadan çekiliyor. İki blok için de kinetik sürtünme katsayısı 0,3. g = 9,81 m/s² alın. Bağlantı ipindeki gerilme T değerini bulun.
Bir top düz zeminden yatayın 40° üstünde atılıyor ve 85 m uzağa düşüyor. Hava direncini ihmal edin ve g = 9,81 m/s² alın. Atış hızı v0 değerini bulun.
Bir top 35 m yüksekliğindeki bir uçurumun tepesinden yatayın 15° üzerinden fırlatılıyor. Hava direncini ihmal edin. Top yere çarpmadan önce aldığı yatay mesafe x değerini bulun.
900 kg’lık bir otomobil yoldaki bir tümseğin tepesinden 11 m/s hızla geçiyor. Tümseğin tepesi 20 m yarıçaplı dairesel bir yaydır. g = 9,81 m/s² alın. Tepede yolun otomobile uyguladığı normal kuvvet N değerini bulun.
1,5 m uzunluğundaki hafif bir ipe bağlı 0,5 kg’lık bir top düşey bir çemberde döndürülüyor. En alt noktada hızı 9,5 m/s’dir. Hava direncini ihmal edin ve g = 9,81 m/s² alın. En üst noktada ipteki gerilme Ttop değerini bulun.
Bir oyuncak fırlatıcının yay sabiti 500 N/m olan düşey bir yayı vardır. Üzerine kütlesi 0,05 kg olan bir top konuyor ve yay 5 cm sıkıştırılıp bırakılıyor. Hava direncini ve yayın kütlesini ihmal ederek topun, yay sıkışıkken bulunduğu konumdan ölçülen yükselme yüksekliği h değerini bulun.
5 kg kütleli bir blok, sürtünmesiz bir rampada 2 m yükseklikten durgun halde bırakılıyor. Altta 1 m uzunluğunda pürüzlü yatay bir şeridi (μ = 0,25) geçiyor ve sonra sürtünmesiz bir yüzeyde bir yaya (k = 500 N/m) çarpıyor. Yayın en büyük sıkışması x değerini bulun.
9 m/s hızla giden 1300 kg’lık bir otomobil, duran 1000 kg’lık bir otomobile çarpıyor ve ikisi birbirine kenetleniyor. Başlangıçtaki kinetik enerjinin yüzde kaçı ΔK/K kaybolur?
10 g’lık bir mermi, 1,6 m uzunluğunda hafif iplerle asılı 4,5 kg’lık bir bloğa yatay olarak ateşleniyor ve içinde kalıyor. İpler düşeyden en fazla 15° açıyla salınıyor. g = 9,81 m/s² alın. Mermi çarpmadan önceki hızı v değerini bulun.
Atalet momenti 1,5 kg·m² olan bir volan 2500 devir/dakika ile dönüyor. Bir fren 30 N·m’lik sabit sürtünme torku uyguluyor. Durması ne kadar sürer t?
Bir ince halka yatayla 30° eğimli bir yokuştan kaymadan yuvarlanıyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Merkezinin ivmesini a bulun.
960 rpm ile çalışan 2,2 kW’lık bir motor 15 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 45 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %95. Motor milindeki tork T1 değerini bulun.
Açık bir kayış, 1500 rpm ile dönen 150 mm’lik bir tahrik kasnağını 500 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 1200 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,3 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 1000 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).
k = 320 N/m olan bir yaydaki 0,3 kg’lık kütle pozitif yönde 8 cm çekiliyor ve t = 0’da durgun hâlden bırakılıyor. t = 0,4 s anında hızı v değerini (işaretiyle) bulun.
k = 290 N/m olan bir yaya bağlı 3,5 kg’lık bir kütle denge konumundan 11 cm çekilip serbest bırakılıyor. Salınımın toplam enerjisi E değerini bulun.
Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 50 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 4 çevrim sonra 30,2 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
20 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 20 kN/m ve k₂ = 5 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
Cevap: s = 28,13 m
Sabit ivmeli hareket: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ve v² = v₀² + 2·a·s. Bildiğiniz üç büyüklüğü ve aradığınız büyüklüğü içeren denklemi seçin ve işaretleri tek bir pozitif yöne göre tutarlı tutun.
Cevap: hmax = 41,27 m
Sabit ivmeli hareket: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ve v² = v₀² + 2·a·s. Bildiğiniz üç büyüklüğü ve aradığınız büyüklüğü içeren denklemi seçin ve işaretleri tek bir pozitif yöne göre tutarlı tutun.
Cevap: μ = 0,1469
Newton’un ikinci yasası: bir cisme etkiyen net kuvvet, kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir: ΣF = m·a. Bir serbest cisim diyagramı çizin, hareket doğrultusunda bir pozitif yön seçin ve o doğrultudaki tüm kuvvetleri toplayın: uygulanan kuvvetler, harekete karşı koyan μ·N sürtünmesi ve yer çekiminin bileşenleri.
Cevap: T = 12,78 N
Newton’un ikinci yasası: bir cisme etkiyen net kuvvet, kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir: ΣF = m·a. Bir serbest cisim diyagramı çizin, hareket doğrultusunda bir pozitif yön seçin ve o doğrultudaki tüm kuvvetleri toplayın: uygulanan kuvvetler, harekete karşı koyan μ·N sürtünmesi ve yer çekiminin bileşenleri.
İki blokta aynı μ varken sürtünme düşer: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Cevap: v0 = 29,1 m/s
Eğik atış: hava direnci yokken x = vxt ve y = h + vyt − ½gt². İki yön, aynı süreyi paylaşmaları dışında birbirinden bağımsızdır.
Cevap: x = 34,85 m
Eğik atış: hava direnci yokken x = vxt ve y = h + vyt − ½gt². İki yön, aynı süreyi paylaşmaları dışında birbirinden bağımsızdır.
Yatay hız sabittir; düşey hareketin aşağı doğru sabit ivmesi g = 9,81 m/s² değerindedir.
y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 denklemini pozitif kök için çözün.
Cevap: N = 3384 N
Düzgün dairesel hareket: r yarıçaplı bir çember üzerinde v hızıyla hareket eden bir cisim merkeze doğru a = v²/r ivmesiyle ivmelenir; bu yüzden içe doğru F = m·v²/r net kuvvetine ihtiyaç duyar. Bu kuvveti gerçek bir etki sağlar: sürtünme, ip gerilmesi, yer çekimi ya da normal kuvvet.
Merkeze doğru (aşağı) pozitiftir.
Otomobil daha hafif hisseder: yol onu ağırlığından daha az iter.
Cevap: Ttop = 5,558 N
Düzgün dairesel hareket: r yarıçaplı bir çember üzerinde v hızıyla hareket eden bir cisim merkeze doğru a = v²/r ivmesiyle ivmelenir; bu yüzden içe doğru F = m·v²/r net kuvvetine ihtiyaç duyar. Bu kuvveti gerçek bir etki sağlar: sürtünme, ip gerilmesi, yer çekimi ya da normal kuvvet.
2r yükseklik boyunca kinetik enerji potansiyel enerjiye dönüşür.
İp gerilmesi ve yerçekimi ikisi de aşağı, merkeze doğrudur.
Cevap: h = 1,274 m
İş–enerji ilkesi: kinetik enerjideki değişim tüm kuvvetlerin işine eşittir. Yer çekimi ve yayları potansiyel enerji (mgh ve ½kx²) olarak yazmak bunu bir denkliğe çevirir: ilk enerji = son enerji + sürtünmeyle kaybedilen enerji (μN·d).
Cevap: x = 58,6 cm
İş–enerji ilkesi: kinetik enerjideki değişim tüm kuvvetlerin işine eşittir. Yer çekimi ve yayları potansiyel enerji (mgh ve ½kx²) olarak yazmak bunu bir denkliğe çevirir: ilk enerji = son enerji + sürtünmeyle kaybedilen enerji (μN·d).
Rampa sürtünmesizdir, bu yüzden enerjiyi yalnızca şerit alır.
Cevap: ΔK/K = 43,48 %
Momentumun korunumu: bir çarpışma sırasında dış kuvvet etkimiyorsa, önceki toplam momentum Σm·v sonrakine eşittir. Hızların yönü vardır; bu yüzden bir pozitif yön seçin ve ters yöndeki hızlara eksi işareti verin. Esnek çarpışmada kinetik enerji de korunur; tamamen esnek olmayan çarpışmada cisimler birbirine yapışır.
Kaybolan enerji şekil değiştirmeye, ısıya ve sese gider.
Cevap: v = 466,4 m/s
Momentumun korunumu: bir çarpışma sırasında dış kuvvet etkimiyorsa, önceki toplam momentum Σm·v sonrakine eşittir. Hızların yönü vardır; bu yüzden bir pozitif yön seçin ve ters yöndeki hızlara eksi işareti verin. Esnek çarpışmada kinetik enerji de korunur; tamamen esnek olmayan çarpışmada cisimler birbirine yapışır.
Cevap: t = 13,09 s
Sabit eksen etrafında dönme: eksene göre momentlerin toplamı I·α’ya eşittir (ΣM = I·α), ötelemede ΣF = m·a olması gibi. Enerji biçiminde, θ açısı (radyan) kadar dönen T torku T·θ iş yapar ve bu ½·I·ω² kinetik enerjisini değiştirir; yerçekimi kütle merkezinin m·g·Δh enerjisini ekler ya da alır. Güç P = T·ω’dır.
Cevap: a = 2,452 m/s²
Yuvarlanma ve açısal momentum: kaymadan yuvarlanan cisim için v = ω·r’dir, bu yüzden kinetik enerjisi ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))’dir. Bir eğimde bu a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) verir. Bir eksene göre dış moment etki etmediğinde, kinetik enerji kaybolsa bile o eksene göre açısal momentum sabit kalır: I₁·ω₁ = I₂·ω₂.
Cevap: T1 = 21,88 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Cevap: P = 6,769 kW
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Cevap: v = −1,247 m/s
Basit harmonik hareket: k sertlikli bir yaya bağlı m kütlesi ω = √(k/m) açısal frekansı ve T = 2π/ω = 2π·√(m/k) periyoduyla salınır. L uzunluğundaki basit sarkaç için T = 2π·√(L/g). A genliğiyle en büyük hız A·ω, en büyük ivme A·ω² ve enerji ½·k·A²’dir.
Cevap: E = 1,754 J
Basit harmonik hareket: k sertlikli bir yaya bağlı m kütlesi ω = √(k/m) açısal frekansı ve T = 2π/ω = 2π·√(m/k) periyoduyla salınır. L uzunluğundaki basit sarkaç için T = 2π·√(L/g). A genliğiyle en büyük hız A·ω, en büyük ivme A·ω² ve enerji ½·k·A²’dir.
Cevap: ζ = 0,02006
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cevap: fn = 5,627 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics