Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 20 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
100 km/h hızla giden bir otomobil, durana kadar 5 m/s² sabit yavaşlamayla fren yapıyor. Fren mesafesi s değerini bulun.
A topu 15 m yükseklikten durgun hâlden bırakılıyor. Aynı anda B topu tam altındaki yerden 16 m/s hızla dik olarak yukarı atılıyor. Hava direncini ihmal edin ve g = 9,81 m/s² alın. Yerden hangi yükseklikte y karşılaşırlar?
2,5 kg ve 2 kg’lık kütleler, hafif bir iple bağlı olarak hafif ve sürtünmesiz bir makaranın iki yanında asılı. Sistem durgun hâlden bırakılıyor. g = 9,81 m/s² alın. İpteki gerilme kuvveti T değerini bulun.
Bir bloğa itme veriliyor ve 25° eğimli bir rampada 8,5 m/s hızla yukarı kaymaya başlıyor. Kinetik sürtünme katsayısı 0,15. g = 9,81 m/s² alın. Durmadan önce rampa boyunca ne kadar d kayar?
Bir top düz zeminden yatayın 60° üzerinden fırlatılıyor. Hava direncini ihmal edin. Topun ulaştığı en büyük yükseklik H değerini bulun.
Bir top 45 m yüksekliğindeki bir uçurumun tepesinden yatayın 50° üzerinden fırlatılıyor. Hava direncini ihmal edin. Top yere çarpmadan önce aldığı yatay mesafe x değerini bulun.
Bir otomobil 145 m yarıçaplı düz bir virajı dönüyor. Lastiklerle yol arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,8. g = 9,81 m/s² alın. Otomobilin kaymadan virajı dönebileceği en yüksek hız vmax değerini bulun.
Küçük bir araba sürtünmesiz bir pistte durgun hâlden bırakılıyor ve 0,5 m yarıçaplı düşey bir çembere giriyor. Çemberin tepesinde pistte kalabilmesi için çemberin dibinin üstünde en az hangi yükseklikten hmin başlamalıdır?
10 kg kütleli bir blok, yatayla 40° açı yapan bir eğimde 10 m kayıyor; kinetik sürtünme katsayısı 0,35. Sürtünmeye karşı yapılan iş Wf değerini bulun.
Kütlesi 2 kg olan bir araba, 3 m yarıçaplı düşey bir dairesel halkaya giden sürtünmesiz bir rayda 7,8 m yükseklikten durgun hâlden bırakılıyor. Arabanın halkanın tepesindeki hızı v değerini bulun.
10 m/s hızla giden 3 kg’lık bir kızak, sürtünmesiz bir ray üzerinde duran 3,5 kg’lık bir kızakla tamamen esnek, kafa kafaya bir çarpışma yapıyor. Çarpışmadan sonra birinci kızağın hızı v′1 değerini bulun (ilk hareket yönü pozitif).
1400 kg’lık bir otomobil park hâlindeki 900 kg’lık bir otomobile çarpıyor. Enkazlar birbirine kenetleniyor ve durmadan önce 16,5 m kayıyor. Lastikler ile yol arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,5. g = 9,81 m/s² alın. Birinci otomobilin çarpışmadan hemen önceki hızı v1 değerini bulun.
5 kg’lık bir blok, sürtünmesiz yatay bir akson üzerinde dönen, kütlesi 20 kg ve yarıçapı 0,15 m olan düzgün dolu bir disk olan makaraya sarılı hafif bir ipten asılıdır. Blok duruştan bırakılıyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Bloğun ivmesini a bulun.
Bir içi boş küre yatayla 40° eğimli bir yokuştan kaymadan yuvarlanıyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Duruştan başlıyor. Yokuştan 8 m yuvarlanması ne kadar sürer t?
Bir kayış, 1500 rpm ile dönen 80 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 1200 N, gevşek tarafta 480 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.
Bileşik bir dişli dizisinde, 3000 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (36 diş) B dişlisini (40 diş) döndürüyor. C dişlisi (18 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (50 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.
Periyodu 2 s olması için basit bir sarkaç ne uzunlukta olmalıdır? g = 9,81 m/s² alın. L değerini bulun.
100 m/s hızla giden 20 g’lık bir mermi, sürtünmesiz bir yüzeyde duran 1,5 kg’lık bir bloğa çarpıp içinde kalıyor. Blok k = 1100 N/m olan yatay bir yaya bağlıdır. Oluşan salınımın genliği A değerini cm cinsinden bulun.
Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 15 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 3 çevrim sonra 7,1 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
10 kg’lık bir kütle k₃ = 40 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 25 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
Cevap: s = 77,16 m
Sabit ivmeli hareket: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ve v² = v₀² + 2·a·s. Bildiğiniz üç büyüklüğü ve aradığınız büyüklüğü içeren denklemi seçin ve işaretleri tek bir pozitif yöne göre tutarlı tutun.
Cevap: y = 10,69 m
Sabit ivmeli hareket: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ve v² = v₀² + 2·a·s. Bildiğiniz üç büyüklüğü ve aradığınız büyüklüğü içeren denklemi seçin ve işaretleri tek bir pozitif yöne göre tutarlı tutun.
Yukarısı pozitif, yer y = 0.
Cevap: T = 21,8 N
Newton’un ikinci yasası: bir cisme etkiyen net kuvvet, kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir: ΣF = m·a. Bir serbest cisim diyagramı çizin, hareket doğrultusunda bir pozitif yön seçin ve o doğrultudaki tüm kuvvetleri toplayın: uygulanan kuvvetler, harekete karşı koyan μ·N sürtünmesi ve yer çekiminin bileşenleri.
Net itici kuvvet ağırlıkların farkıdır; toplam kütleyi hareket ettirir.
Cevap: d = 6,593 m
Newton’un ikinci yasası: bir cisme etkiyen net kuvvet, kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir: ΣF = m·a. Bir serbest cisim diyagramı çizin, hareket doğrultusunda bir pozitif yön seçin ve o doğrultudaki tüm kuvvetleri toplayın: uygulanan kuvvetler, harekete karşı koyan μ·N sürtünmesi ve yer çekiminin bileşenleri.
İki kuvvet de eğim aşağı yönlüdür; kütle sadeleşir.
Cevap: H = 34,4 m
Eğik atış: hava direnci yokken x = vxt ve y = h + vyt − ½gt². İki yön, aynı süreyi paylaşmaları dışında birbirinden bağımsızdır.
Yatay hız sabittir; düşey hareketin aşağı doğru sabit ivmesi g = 9,81 m/s² değerindedir.
Tepede düşey hız sıfırdır: vy² = 2gH.
Cevap: x = 25,13 m
Eğik atış: hava direnci yokken x = vxt ve y = h + vyt − ½gt². İki yön, aynı süreyi paylaşmaları dışında birbirinden bağımsızdır.
Yatay hız sabittir; düşey hareketin aşağı doğru sabit ivmesi g = 9,81 m/s² değerindedir.
y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 denklemini pozitif kök için çözün.
Cevap: vmax = 33,73 m/s
Düzgün dairesel hareket: r yarıçaplı bir çember üzerinde v hızıyla hareket eden bir cisim merkeze doğru a = v²/r ivmesiyle ivmelenir; bu yüzden içe doğru F = m·v²/r net kuvvetine ihtiyaç duyar. Bu kuvveti gerçek bir etki sağlar: sürtünme, ip gerilmesi, yer çekimi ya da normal kuvvet.
Cevap: hmin = 1,25 m
Düzgün dairesel hareket: r yarıçaplı bir çember üzerinde v hızıyla hareket eden bir cisim merkeze doğru a = v²/r ivmesiyle ivmelenir; bu yüzden içe doğru F = m·v²/r net kuvvetine ihtiyaç duyar. Bu kuvveti gerçek bir etki sağlar: sürtünme, ip gerilmesi, yer çekimi ya da normal kuvvet.
Cevap: Wf = 263 J
İş–enerji ilkesi: kinetik enerjideki değişim tüm kuvvetlerin işine eşittir. Yer çekimi ve yayları potansiyel enerji (mgh ve ½kx²) olarak yazmak bunu bir denkliğe çevirir: ilk enerji = son enerji + sürtünmeyle kaybedilen enerji (μN·d).
Cevap: v = 5,943 m/s
İş–enerji ilkesi: kinetik enerjideki değişim tüm kuvvetlerin işine eşittir. Yer çekimi ve yayları potansiyel enerji (mgh ve ½kx²) olarak yazmak bunu bir denkliğe çevirir: ilk enerji = son enerji + sürtünmeyle kaybedilen enerji (μN·d). Dairesel bir yörüngede merkeze doğru net kuvvet mv²/r’ye eşit olmalıdır.
Araba h = 2,5R olduğunda halkayı ancak tamamlar; o zaman tepede N = 0 olur.
Cevap: v′1 = −0,7692 m/s
Momentumun korunumu: bir çarpışma sırasında dış kuvvet etkimiyorsa, önceki toplam momentum Σm·v sonrakine eşittir. Hızların yönü vardır; bu yüzden bir pozitif yön seçin ve ters yöndeki hızlara eksi işareti verin. Esnek çarpışmada kinetik enerji de korunur; tamamen esnek olmayan çarpışmada cisimler birbirine yapışır.
Momentum ve enerji korunumunu birlikte çözmek bu iki sonucu verir.
Eksi işareti, birinci kızağın geri sektiği anlamına gelir.
Cevap: v1 = 20,9 m/s
Momentumun korunumu: bir çarpışma sırasında dış kuvvet etkimiyorsa, önceki toplam momentum Σm·v sonrakine eşittir. Hızların yönü vardır; bu yüzden bir pozitif yön seçin ve ters yöndeki hızlara eksi işareti verin. Esnek çarpışmada kinetik enerji de korunur; tamamen esnek olmayan çarpışmada cisimler birbirine yapışır.
Cevap: a = 3,27 m/s²
Sabit eksen etrafında dönme: eksene göre momentlerin toplamı I·α’ya eşittir (ΣM = I·α), ötelemede ΣF = m·a olması gibi. Enerji biçiminde, θ açısı (radyan) kadar dönen T torku T·θ iş yapar ve bu ½·I·ω² kinetik enerjisini değiştirir; yerçekimi kütle merkezinin m·g·Δh enerjisini ekler ya da alır. Güç P = T·ω’dır.
Cevap: t = 2,056 s
Yuvarlanma ve açısal momentum: kaymadan yuvarlanan cisim için v = ω·r’dir, bu yüzden kinetik enerjisi ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))’dir. Bir eğimde bu a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)) verir. Bir eksene göre dış moment etki etmediğinde, kinetik enerji kaybolsa bile o eksene göre açısal momentum sabit kalır: I₁·ω₁ = I₂·ω₂.
Cevap: P = 4,524 kW
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Cevap: nout = 972 rpm
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
toplam oran = 3,086 : 1
Cevap: L = 0,994 m
Basit harmonik hareket: k sertlikli bir yaya bağlı m kütlesi ω = √(k/m) açısal frekansı ve T = 2π/ω = 2π·√(m/k) periyoduyla salınır. L uzunluğundaki basit sarkaç için T = 2π·√(L/g). A genliğiyle en büyük hız A·ω, en büyük ivme A·ω² ve enerji ½·k·A²’dir.
Cevap: A = 4,891 cm
Basit harmonik hareket: k sertlikli bir yaya bağlı m kütlesi ω = √(k/m) açısal frekansı ve T = 2π/ω = 2π·√(m/k) periyoduyla salınır. L uzunluğundaki basit sarkaç için T = 2π·√(L/g). A genliğiyle en büyük hız A·ω, en büyük ivme A·ω² ve enerji ½·k·A²’dir.
Cevap: ζ = 0,03965
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cevap: fn = 7,659 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Yalnızca k1 ve k2 paraleldir. Bu çift k3 ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics