FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 4 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 7 m uzaklıkta saat yönünün tersine dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_A değerini bulun.

L = 8 mP = 25 kN @ 4 mM = 30 kN·m (saat yönünün tersine) @ 7 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda 15 kN/m olan ve serbest uç B’de sıfıra azalan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 3,5 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 6 mw₀ = 15 kN/mP = 80 kN @ 3,5 m

M_A = kN·m

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 3 mB, A’dan 5 m uzaktadüşey yük = 45 kN

F_AC = kN

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 20 kN ↓D: 10 kN ↓F: 15 kN →G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

30 kN @ 5 m35 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 10 kN @ 2 mw = 3 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 4,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 23 kNa = 4,5 mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 6 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 140 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 140 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Simetrik bir I kesitin başlıkları 190 mm genişliğinde ve 18 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 280 mm ve gövdesi 14 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre atalet momenti I_x değerini bulun.

B = 190 mmH = 280 mmt_f = 18 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 5 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 5 kN·m

σ_üst = MPa

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15 kN/m³kum: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 17 kN/m³kum: γ_sat = 19,5 kN/m³kil: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

2,5 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,5, C_r = 0,06 ve e₀ = 1,2. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 75 kPa ve ön konsolidasyon basıncı 185 kPa’dır. Yeni bir bina orta derinlikte 230 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 2,5 mC_c = 0,5C_r = 0,06e₀ = 1,2σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 185 kPaΔσ = 230 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

9 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 5 m²/yıl. Üstünde kum bulunan geçirimsiz kaya üzerinde durur, bu yüzden su yalnızca üstten drene olur. %50 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,197. Tabakanın %50 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 9 mc_v = 5 m²/yılU = 50%T_v = 0,197tek yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

1 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 1 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 3 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su (ρ = 1000 kg/m³), 500 m uzunluğunda ve iç çapı 250 mm olan yatay bir borudan 1,4 m/s hızla akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,018 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Boru boyunca basınç düşüşü Δp değerini kPa cinsinden bulun.

V = 1,4 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

İki açık hazne, 300 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Üst haznenin su yüzeyi alttakinden 27 m yüksektedir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 4 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 0,2) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Debi Q değerini L/s cinsinden bulun.

Δz = 27 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Yamuk kesitli bir perdahlı beton kanalın taban genişliği 1 m ve şev eğimleri 2:1 (yatay:düşey). Su 2,1 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,012 ve taban eğimi S = 0,0008. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 1 my = 2,1 mz = 2n = 0,012S = 0,0008

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

İç çapı 600 mm olan beton bir kanalizasyon borusu (Manning n = 0,013) tam dolu akarken 1 m/s’lik kendi kendini temizleme hızına ulaşmalıdır. En küçük eğim S değerini (m/m cinsinden) bulun.

D = 600 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Bir deneyde pompa 66 m basma yüksekliğine karşı 15 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basarken mili 13,9 kW çekiyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi η değerini yüzde olarak bulun.

Q = 15 L/sH = 66 mP_shaft = 13,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 20 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 8 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 200 m uzunluğunda, iç çapı 100 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,022; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 5 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi %80. Mil gücü P_shaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 20 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 5η = 80%

P_shaft = kW

25.Paranın zaman değeriOrta

€20 000 tutarını, aylık bileşik, yıllık %3,6 nominal faizle yatırıyorsunuz. 2 yıl sonra yatırımın değeri FV'yi bulun.

PV = €20 0003,6% / 12n = 2

FV = €

26.Paranın zaman değeriZor

16 yıl sonra €100 000 istiyorsunuz. Aylık bileşik yıllık %4,2 faiz veren bir hesapta her ayın sonunda aynı tutarı biriktiriyorsunuz. Aylık yatırılacak tutar A değerini bulun.

FV = €100 0004,2% / 12N = 192

A = €

27.NBD ve IRROrta

€75 000 tutarındaki bir yatırım 1'den 3'e kadar yılların sonunda şu nakit akışlarını sağlar: €21 000, €34 000, €20 000. Sermaye maliyeti %6'tür. Net bugünkü değer NPV'ü bulun.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 21 000CF₂ = 34 000CF₃ = 20 000

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €40 000 tutarındadır ve 1'den 3'ye kadar yılların sonunda €17 500, €24 500, €17 000 getirir. İç verim oranı IRR'ü yüzde olarak bulun.

CF₀ = −40 000CF₁ = 17 500CF₂ = 24 500CF₃ = 17 000

IRR = %

29.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,2358 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,2358

z =

30.Normal dağılımZor

A koşucusunun tur süresi X ve B koşucusunun tur süresi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 52 s, standart sapması 4 s; Y’nin ortalaması 48 s, standart sapması 3 s’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 16,25 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 25·4 + 30 = 0

R_B = 70/8 = 8,75 kN

Düşey denge

R_A = 25 − 8,75 = 16,25 kN

Cevap

R_A = 16,25 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: M_A = 370 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir R_A tepkisi ve bir M_A tepki momenti verir. ΣF_y = 0, R_A’yı; duvara göre momentler M_A = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Duvara göre moment

M_A = W·x̄ + P·a = 45·2 + 80·3,5 = 370 kN·m

Cevap

M_A = 370 kN·m

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 12,5 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·5 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 37,5 = 7,5 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37,5/0,9487 = −39,53 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−39,53)·0,3162 = 12,5 kN

Cevap

F_AC = 12,5 kN (çekme)

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 42,5 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 53,03 kN (C), BF: 27,5 kN (T), CG: 0, DH: 22,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 17,68 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 16,67 kN, R₂ = 48,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 16,67, M_C = 33,33, M_D = 50, M_E = 66,67 kN·m, M_F = 48,33, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = 66,67 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 13,13 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 3·4·2

R_B = 44/4 = 11 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 11 = 11 kN

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 11·2,5 − 10·(2,5 − 2) − 3·2,5·1,25 = 13,13 kN·m

Cevap

M_x = 13,13 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 8,086 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 23000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 23000·4500²·1500²/(3·7,2 × 10¹²·6000) = 8,086 mm

Cevap

δ_P = 8,086 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 29,37 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·4000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 9,524 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 19,84 mm

Toplayın

δ_max = 9,524 + 19,84 = 29,37 mm

Cevap

δ_max = 29,37 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 255,9 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/1500² = 255879 N = 255,9 kN

Cevap

P_cr = 255,9 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 102 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 102 mm

Cevap

d = 102 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 196, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 134,5 × 10⁶ mm⁴

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 280 − 2·18 = 244 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·280³ − 176·244³)/12

I_x = 1,345 × 10⁸ mm⁴ = 134,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 134,5 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 7,891 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

gövde: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·292,5 + 3360·140)/6360 = 211,9 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·25³/12 + 3000·(292,5 − 211,9)² = 1,963 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·280³/12 + 3360·(140 − 211,9)² = 3,934 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,963 × 10⁷ + 3,934 × 10⁷ = 5,897 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 305 − 211,9 = 93,07 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·93,07/5,897 × 10⁷ = 7,891 MPa

Cevap

σ_üst = 7,891 MPa

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 80,38 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 20·2 = 100 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 100 − 19,62 = 80,38 kPa

Cevap

σ′ = 80,38 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 72,35 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 17·2 + 19,5·1 + 18·3,5 = 116,5 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 116,5 − 44,15 = 72,35 kPa

Cevap

σ′ = 72,35 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 150,1 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 75 + 230 = 305 kPa > 185 kPa

Oturma

σ′_p’ye kadar yeniden sıkışma, ötesinde bakir sıkışma.

S = 0,06·2,5/(1 + 1,2)·log₁₀(185/75) + 0,5·2,5/(1 + 1,2)·log₁₀(305/185)

S = 26,73 + 123,4 = 150,1 mm

Cevap

S = 150,1 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 3,191 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H = 9 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·9²/5 = 3,191 yıl

Cevap

t = 3,191 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 25,75 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·1,5 = 25,75 kN

Cevap

F = 25,75 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 104,2 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·2,5 = 104,2 kN

Cevap

F = 104,2 kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Δp = 35,28 kPa

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Yük kaybı

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,25)·1,4²/(2·9,81) = 3,596 m

Basınç düşüşü

Boru yataydır ve hız değişmez, bu yüzden enerji denklemi Δp = ρ·g·h_f’ye indirgenir.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·3,596 = 35280 Pa = 35,28 kPa

Cevap

Δp = 35,28 kPa

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Q = 143,5 L/s

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Enerji denklemi

İki yüzey de havaya açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden Δz’nin tamamı boruda kaybolur.

27 = (22,5 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·27/25,4) = 4,567 m/s

Debi

Q = V·π·D²/4 = 4,567·0,03142 = 0,1435 m³/s = 143,5 L/s

Cevap

Q = 143,5 L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 26,6 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·2,1)·2,1 = 10,92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2,1·√(1 + 2²) = 10,39 m

R = A/P = 1,051 m

Hız

V = (1/0,012)·1,051^2/3·0,0008^1/2 = 2,436 m/s

Debi

Q = A·V = 10,92·2,436 = 26,6 m³/s

Cevap

Q = 26,6 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,00212 m/m

Hidrolik yarıçap

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Manning’i S için çözün

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,2823)² = 0,00212

Cevap

S = 0,00212

Bu, kilometrede 2,12 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: η = 69,87 %

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·66 = 9,712 kW

Verim

η = P_h/P_shaft = 9,712/13,9 = 69,87%

Cevap

η = 69,87%

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_shaft = 5,934 kW

Hız

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 5)·0,3305 = 16,19 m

Pompa basma yüksekliği

H = Δz + h_L = 8 + 16,19 = 24,19 m

Mil gücü

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·24,19/0,8 = 5,934 kW

Cevap

P_shaft = 5,934 kW

25.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 21491 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Oran ve dönem sayısı

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·2 = 24

Gelecek değer

FV = 20 000·(1 + 0,003)²⁴ = 20 000·1,075 = €21 490,79

Cevap

FV = €21 490,79

26.Paranın zaman değeri

Cevap: A = 366,2 €

Aylık oran ve yatırım sayısı

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·16 = 192

Yatırılan tutar

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,0035/(1,956 − 1) = €366,16

Cevap

A = €366,16

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = −8136 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Her nakit akışının bugünkü değeri

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 21 000/1,06 = 19 811,32

CF₂/(1 + 0,06)² = 34 000/1,124 = 30 259,88

CF₃/(1 + 0,06)³ = 20 000/1,191 = 16 792,39

Toplayın

NPV = €−8 136,41

Cevap

NPV = €−8 136,41

NBD negatif, yani proje gerekli getiriden azını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 22,27 %

IRR'yi iki taraftan sınırlayın

Oran arttıkça NBD azalır; bu yüzden IRR, pozitif NBD veren oran ile negatif NBD veren oran arasındadır.

NPV(20%) = 1 435,19

NPV(25%) = −1 616,00

Daraltın

Doğrusal enterpolasyon ilk tahmini verir; tekrarlamak (ya da hesap makinesinin IRR işlevi) kesin oranı verir.

IRR ≈ 20 + 5·1 435,19/(1 435,19 − (−1 616,00)) = 22,35%

kesin: NPV(22,27%) = 0 → IRR = 22,27%

Cevap

IRR = 22,27%

29.Normal dağılım

Cevap: z = 0,3

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,2358)/2 = 0,6179

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,6179 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,30

Cevap

z = 0,30

30.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7881

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standartlaştırın

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Cevap

P = 0,7881

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil