FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 4 mP₁ = 60 kN @ 2,5 mP₂ = 50 kN @ 3 m

R_B = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Bileşik bir kiriş A’da duvara ankastredir, C’de (A’dan 4 m) bir iç mafsalı vardır ve D’de (A’dan 8 m) bir kayıcı mesnede oturur. Taşıdığı yükler: A’dan 6 m uzaklıkta bir P tekil yükü, tüm CD kısmında düzgün yayılı w yükü ve A’dan 3 m uzaklıkta bir Q tekil yükü. Kayıcı mesnetteki tepki R_D değerini bulun.

AC = 4 mAD = 8 mP = 75 kN @ 6 mw = 4 kN/m, 4 ile 8 m arasındaQ = 15 kN @ 3 m

R_D = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 3 mB, A’dan 5 m uzaktadüşey yük = 40 kN

F_BC = kN

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 2 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 25 kNyatay yük = 5 kN →

F_AC = kN

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 1 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti M_x değerini A ankastre mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 2,5 mP = 65 kN @ 1 mw = 3 kN/m, 0 ile 2,5 m arasındax = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

60 kN @ 0 m45 kN @ 12 m8 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 29 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 5 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Simetrik bir I kesitin başlıkları 170 mm genişliğinde ve 14 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 420 mm ve gövdesi 6 mm kalınlığındadır. x eksenine göre 50 kN·m eğilme momenti taşır. Gövde ile üst başlığın birleşim yerindeki eğilme gerilmesinin büyüklüğü σ_j değerini bulun.

B = 170 mmH = 420 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 12 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 16 kN/m³kum: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 16 kN/m³kum: γ_sat = 19,5 kN/m³kil: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

2 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,5, C_r = 0,03 ve e₀ = 1,2. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 50 kPa ve ön konsolidasyon basıncı 170 kPa’dır. Yeni bir bina orta derinlikte 85 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 2 mC_c = 0,5C_r = 0,03e₀ = 1,2σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 85 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

10 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 1,5 m²/yıl. İki kum tabakası arasında bulunur, bu yüzden su üstten ve alttan drene olur. %70 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,403. Tabakanın %70 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 10 mc_v = 1,5 m²/yılU = 70%T_v = 0,403çift yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

1,5 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 1,5 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

3 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, gliserin dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 1 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 150 m uzunluğunda ve iç çapı 300 mm olan bir borudan 150 L/s debiyle akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,025 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

Q = 150 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

150 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm (Darcy sürtünme faktörü f = 0,02) olan bir boru açık bir hazneden çıkıyor ve havaya serbest jet olarak boşalıyor. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 4 dirsek (her biri K = 0,3) ve bir vana (K = 5). g = 9,81 m/s² kullanın. 40 L/s debi için hazne yüzeyi boru çıkışının ne kadar H üstünde olmalıdır?

Q = 40 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Dikdörtgen kesitli bir çim kaplı toprak kanal 2,5 m genişliğinde. Su 1,3 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,03 ve taban eğimi S = 0,0008. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 2,5 my = 1,3 mn = 0,03S = 0,0008

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

İç çapı 375 mm olan beton bir kanalizasyon borusu (Manning n = 0,013) tam dolu akarken 0,9 m/s’lik kendi kendini temizleme hızına ulaşmalıdır. En küçük eğim S değerini (m/m cinsinden) bulun.

D = 375 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Verimi %60 olan bir pompa 78 m basma yüksekliğine karşı 60 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Gereken mil gücü P_shaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 60 L/sH = 78 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 80 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 10 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 300 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,022; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 6 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Üst tank kapalıdır ve suyun üzerindeki hava 300 kPa etkin basınçtadır. Pompanın eklemesi gereken basma yüksekliği H değerini bulun.

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6p_tank = 300 kPa

H = m

25.Paranın zaman değeriOrta

€5 000 tutarını, üç aylık bileşik, yıllık %3 nominal faizle yatırıyorsunuz. 8 yıl sonra yatırımın değeri FV'yi bulun.

PV = €5 0003% / 4n = 8

FV = €

26.Paranın zaman değeriZor

22 yıl boyunca her ayın sonunda €300 biriktiriyorsunuz. Hesap aylık bileşik, yıllık %5,4 faiz ödüyor. Sonunda ne kadar birikmiş olur? FV'ü bulun.

A = €3005,4% / 12N = 264

FV = €

27.NBD ve IRROrta

€30 000 tutarındaki bir yatırım 1'den 4'e kadar yılların sonunda şu nakit akışlarını sağlar: €8 000, €8 000, €12 000, €11 000. Sermaye maliyeti %6'tür. Net bugünkü değer NPV'ü bulun.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 000CF₃ = 12 000CF₄ = 11 000

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €50 000 tutarındadır ve 1'den 3'ye kadar yılların sonunda €23 000, €34 000, €33 000 getirir. İç verim oranı IRR'ü yüzde olarak bulun.

CF₀ = −50 000CF₁ = 23 000CF₂ = 34 000CF₃ = 33 000

IRR = %

29.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 24,8 ile 36,8 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 24,8x₂ = 36,8

P =

30.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %99 olan x değerini bulun (99. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 75 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·2,5 + 50·3

R_B = 300/4 = 75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 75 = 35 kN

Cevap

R_B = 75 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_D = 45,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın. Bir iç mafsal eğilme momenti taşıyamaz; bu bir ek denklem verir: her iki taraftaki kuvvetlerin mafsala göre momenti sıfırdır.

CD kısmı

Mafsalda moment yoktur, bu yüzden yalnızca CD üzerindeki C’ye göre momentler dengelenmelidir.

W = 4·4 = 16 kN @ 2 m referans: C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 75·2 + 16·2

R_D = 45,5 kN

V_C = 91 − 45,5 = 45,5 kN

Cevap

R_D = 45,5 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = −35,14 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 → C_y = 33,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 33,33 = 6,667 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,33/0,9487 = −35,14 kN

Cevap

F_BC = −35,14 kN (basınç)

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 20 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 + 5·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 10 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,4472 = −22,36 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,36)·0,8944 = 20 kN

Cevap

F_AC = 20 kN (çekme)

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = −38,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −65·0,5 = −32,5 kN·m

w: −3·2²/2 = −6 kN·m

M_x = −32,5 − 6 = −38,5 kN·m

Cevap

M_x = −38,5 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 2 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 95,75 kN, R₂ = 73,25 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −120 kN·m, M_C = −64,5, M_D = −41, M_E = −49,5, M_F = −90, M_G = 0

Cevap

İşaret B: M_B = −120 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 55,61 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 29000 N, a = 1500 mm, b = 4500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 29000·1500²·4500²/(3·1,32 × 10¹²·6000) = 55,61 mm

Cevap

δ_P = 55,61 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 33,29 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2500⁴/(384·11000·6,944) = 3,329 × 10⁷ mm⁴

I_req = 33,29 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 33,29 × 10⁶ mm⁴

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 5,426 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5,426 kN

Cevap

P_cr = 5,426 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 26,8 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 26,8 mm

Cevap

d = 26,8 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 298,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 10,87 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

gövde: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·150 + 1680·70)/6480 = 129,3 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·20³/12 + 4800·(150 − 129,3)² = 2,225 × 10⁶ mm⁴

gövde: 12·140³/12 + 1680·(70 − 129,3)² = 8,644 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,225 × 10⁶ + 8,644 × 10⁶ = 1,087 × 10⁷ mm⁴ = 10,87 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 10,87 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_j = 43,3 MPa

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 420 − 2·14 = 392 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·420³ − 164·392³)/12

I_x = 2,264 × 10⁸ mm⁴

Eğilme gerilmesi

y = 210 − 14 = 196 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·196/2,264 × 10⁸ = 43,3 MPa

Cevap

σ_j = 43,3 MPa

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 128,9 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 19,5·10 = 227 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·10 = 98,1 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 227 − 98,1 = 128,9 kPa

Cevap

σ′ = 128,9 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 84,14 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 16·2 + 19,5·3 + 17,5·3 = 143 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 143 − 58,86 = 84,14 kPa

Cevap

σ′ = 84,14 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 11,76 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 50 + 85 = 135 kPa ≤ 170 kPa

Oturma

Kil yeniden sıkışma doğrusu üzerinde kalır.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·2/(1 + 1,2)·log₁₀(135/50) = 11,76 mm

Cevap

S = 11,76 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 6,717 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H/2 = 10/2 = 5 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·5²/1,5 = 6,717 yıl

Cevap

t = 6,717 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 101,2 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3,75 = 101,2 kN

Cevap

F = 101,2 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 278,1 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,5·9 = 278,1 kN

Cevap

F = 278,1 kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 2,869 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Ortalama hız

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 2,122²/(2·9,81) = 0,2295 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(150/0,3)·2,122²/(2·9,81) = 2,869 m

Cevap

h_f = 2,869 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: H = 1,876 m

Hız

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,02·150/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Enerji denklemi

Çıkış jeti hız yüksekliğini hâlâ taşır; bu bir kayıp değildir ama sağlanması gerekir.

H = (1 + 15 + 6,7)·0,08263 = 1,876 m

Cevap

H = 1,876 m

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 2,269 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = b·y = 2,5·1,3 = 3,25 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,3 = 5,1 m

R = A/P = 0,6373 m

Hız

V = (1/0,03)·0,6373^2/3·0,0008^1/2 = 0,6982 m/s

Debi

Q = A·V = 3,25·0,6982 = 2,269 m³/s

Cevap

Q = 2,269 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,003214 m/m

Hidrolik yarıçap

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Manning’i S için çözün

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2064)² = 0,003214

Cevap

S = 0,003214

Bu, kilometrede 3,214 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_shaft = 76,52 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·78 = 45,91 kW

Mil gücü

P_shaft = P_h/η = 45,91/0,6 = 76,52 kW

Cevap

P_shaft = 76,52 kW

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: H = 53,47 m

Hız

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 6)·0,3305 = 12,89 m

Basınç yüksekliği

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Pompa basma yüksekliği

İki yüzey de pratikte durgundur, bu yüzden hız yüksekliği terimi yoktur.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 30,58 + 12,89 = 53,47 m

Cevap

H = 53,47 m

25.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 6351 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Oran ve dönem sayısı

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·8 = 32

Gelecek değer

FV = 5 000·(1 + 0,0075)³² = 5 000·1,27 = €6 350,56

Cevap

FV = €6 350,56

26.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 151452 €

Aylık oran ve yatırım sayısı

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·22 = 264

Yatırımların gelecek değeri

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(3,272 − 1)/0,0045 = €151 452,18

Cevap

FV = €151 452,18

Kendiniz €79 200 yatırdınız; geri kalanı faizdir.

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = 3456 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Her nakit akışının bugünkü değeri

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 8 000/1,06 = 7 547,17

CF₂/(1 + 0,06)² = 8 000/1,124 = 7 119,97

CF₃/(1 + 0,06)³ = 12 000/1,191 = 10 075,43

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 11 000/1,262 = 8 713,03

Toplayın

NPV = €3 455,60

Cevap

NPV = €3 455,60

NBD pozitif, yani proje gerekli getiriden fazlasını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 33,74 %

IRR'yi iki taraftan sınırlayın

Oran arttıkça NBD azalır; bu yüzden IRR, pozitif NBD veren oran ile negatif NBD veren oran arasındadır.

NPV(30%) = 2 831,13

NPV(35%) = −894,68

Daraltın

Doğrusal enterpolasyon ilk tahmini verir; tekrarlamak (ya da hesap makinesinin IRR işlevi) kesin oranı verir.

IRR ≈ 30 + 5·2 831,13/(2 831,13 − (−894,68)) = 33,8%

kesin: NPV(33,74%) = 0 → IRR = 33,74%

Cevap

IRR = 33,74%

29.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6731

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (24,8 − 32)/6 = −1,2

z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Aradaki alan

P = Φ(0,8) − Φ(−1,2) = 0,7881 − 0,1151 = 0,6731

Cevap

P = 0,6731

30.Normal dağılım

Cevap: x = 45,96 min

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

x’e geri dönüş

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Cevap

x = 45,96 min

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil