FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 10 mP₁ = 20 kN @ 3 mP₂ = 15 kN @ 7 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 10 mP = 60 kN @ 6 mw = 12 kN/m, 7 ile 10 m arasında

R_B = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 4 m uzaktadüşey yük = 50 kN

F_AC = kN

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 4 mB, A’dan 4 m uzaktadüşey yük = 25 kNyatay yük = 30 kN →

F_AC = kN

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 8 m15 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 4 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 45 kN @ 4 mw = 10 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 4 m

M_x = kN·m

7.Kiriş sehimiOrta

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 3,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δ_B değerini bulun.

P = 7 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 270 mm ve iç çapı d = 238 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 270 mmd = 238 mm

r = mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 50 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 50 kN·m

σ_alt = MPa

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 16 kN/m³kum: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15,5 kN/m³kum: γ_sat = 20,5 kN/m³kil: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

2 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,45, C_r = 0,06 ve e₀ = 0,6. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 100 kPa ve ön konsolidasyon basıncı 200 kPa’dır. Yeni bir bina orta derinlikte 180 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 2 mC_c = 0,45C_r = 0,06e₀ = 0,6σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 200 kPaΔσ = 180 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

4 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 2,5 m²/yıl. İki kum tabakası arasında bulunur, bu yüzden su üstten ve alttan drene olur. %80 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,567. Tabakanın %80 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 4 mc_v = 2,5 m²/yılU = 80%T_v = 0,567çift yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

3 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 3 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1,5 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2,5 m altında bulunuyor. Basınç merkezinin yüzeyden derinliği y_cp değerini bulun.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 1000 m uzunluğunda ve iç çapı 75 mm olan bir borudan 12 L/s debiyle akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,018 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

Q = 12 L/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

İki açık hazne, 200 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Üst haznenin su yüzeyi alttakinden 19 m yüksektedir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 2 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 0,2) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Debi Q değerini L/s cinsinden bulun.

Δz = 19 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Dikdörtgen kesitli bir tuğla kaplama kanal 2,5 m genişliğinde. Su 1,1 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,015 ve taban eğimi S = 0,004. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 2,5 my = 1,1 mn = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

Taban genişliği 6 m ve şev eğimleri 1:1 (yatay:düşey) olan yamuk kesitli bir tuğla kaplama kanal 2,2 m derinlikte üniform akışla 49 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,015. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 49 m³/sb = 6 my = 2,2 mz = 1n = 0,015

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Bir deneyde pompa 26 m basma yüksekliğine karşı 40 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basarken mili 14,6 kW çekiyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi η değerini yüzde olarak bulun.

Q = 40 L/sH = 26 mP_shaft = 14,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 40 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 5 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 400 m uzunluğunda, iç çapı 150 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,018; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 6 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi %70. Mil gücü P_shaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

25.Paranın zaman değeriOrta

2 yıl sonra €10 000 gerekiyor. Hesap üç aylık bileşik, yıllık %4 faiz ödüyor. Bugün ne kadar yatırmalısınız? Bugünkü değer PV'ü bulun.

FV = €10 0004% / 4n = 2

PV = €

26.Paranın zaman değeriZor

€150 000 tutarındaki bir kredi 25 yıl boyunca eşit aylık taksitlerle ödenir. Faiz oranı aylık bileşik, yıllık %2,4'dir. Aylık taksit A'ü bulun.

P = €150 0002,4% / 12N = 300

A = €

27.NBD ve IRROrta

Bir proje bugün €100 000 maliyetindedir. Birinci yılın sonunda €10 000 sağlar ve nakit akışı sonra sonsuza kadar yıllık %1 büyür. Sermaye maliyeti %9. Net bugünkü değer NPV değerini bulun.

C₀ = €100 000CF₁ = €10 000g = 1%r = 9%

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €25 000 maliyetindedir ve 1’den 3. yıla kadar her yılın sonunda €13 000, €13 500, €9 000 getirir. Nakit akışları %6 sermaye maliyetiyle yeniden yatırılabilir. Düzeltilmiş iç verim oranı MIRR değerini yüzde olarak bulun.

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 13 000CF₂ = 13 500CF₃ = 9 000

MIRR = %

29.Normal dağılımOrta

X ortalaması 60 s, standart sapması 5 s olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 45 s, standart sapması 4 s olan normaldir. X + Y’nin 101,8 s değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 101,8 s

P =

30.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %15 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan15%

x = puan

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 18,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·3 + 15·7

R_B = 165/10 = 16,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 16,5 = 18,5 kN

Cevap

R_A = 18,5 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 66,6 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, x̄ = 8,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·6 + 12·3·8,5

R_B = 666/10 = 66,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 66,6 = 29,4 kN

Cevap

R_B = 66,6 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 13,33 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·4 → C_y = 40 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 40 = 10 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −40/0,9487 = −42,16 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−42,16)·0,3162 = 13,33 kN

Cevap

F_AC = 13,33 kN (çekme)

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 11 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·4 + 30·4 → C_y = 44 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 44 = −19 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −44/0,9701 = −45,35 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−45,35)·0,2425 = 11 kN

Cevap

F_AC = 11 kN (çekme)

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 17,5 kN, R₂ = 12,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 40, M_D = 45, M_E = 50 kN·m, M_F = 25, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = 50 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 228 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·4 + 10·10·5

R_B = 680/10 = 68 kN

ΣF_y = 0: R_A = 145 − 68 = 77 kN

x = 4 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 77·4 − 10·4·2 = 228 kN·m

Cevap

M_x = 228 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_B = 18,5 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 7000 N, a = 3500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δ_P = Pa³/(3EI) = 8,932 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003828 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 18,5 mm

Cevap

δ_B = 18,5 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 1,831 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2500⁴/(384·200000·6,944) = 1,831 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,831 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 1,831 × 10⁶ mm⁴

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 635 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN

Cevap

P_cr = 635 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 197,4 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Cevap

σ_cr = 197,4 MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 89,98 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 12767 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,034 × 10⁸ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(1,034 × 10⁸/12767) = 89,98 mm

Cevap

r = 89,98 mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 121,6 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

gövde: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·292,5 + 5600·140)/8100 = 187,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 100·25³/12 + 2500·(292,5 − 187,1)² = 2,792 × 10⁷ mm⁴

gövde: 20·280³/12 + 5600·(140 − 187,1)² = 4,899 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,792 × 10⁷ + 4,899 × 10⁷ = 7,691 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 187,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·187,1/7,691 × 10⁷ = 121,6 MPa

Cevap

σ_alt = 121,6 MPa

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 66,5 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 18,5·1 = 66,5 kPa

Cevap

σ = 66,5 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 72,45 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 15,5·2 + 20,5·1 + 17,5·4 = 121,5 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 121,5 − 49,05 = 72,45 kPa

Cevap

σ′ = 72,45 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 104,8 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 100 + 180 = 280 kPa > 200 kPa

Oturma

σ′_p’ye kadar yeniden sıkışma, ötesinde bakir sıkışma.

S = 0,06·2/(1 + 0,6)·log₁₀(200/100) + 0,45·2/(1 + 0,6)·log₁₀(280/200)

S = 22,58 + 82,2 = 104,8 mm

Cevap

S = 104,8 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 0,9072 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H/2 = 4/2 = 2 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·2²/2,5 = 0,9072 yıl

Cevap

t = 0,9072 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 235,4 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN

Cevap

F = 235,4 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: y_cp = 3,028 m

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1,5 = 44,15 kN

Basınç merkezi

Basınç derinlikle arttığından bileşke ağırlık merkezinin altında etkir.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0,125/(3·1,5) = 3,028 m

Cevap

y_cp = 3,028 m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 90,25 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Ortalama hız

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,012/0,004418 = 2,716 m/s

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 2,716²/(2·9,81) = 0,376 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(1000/0,075)·2,716²/(2·9,81) = 90,25 m

Cevap

h_f = 90,25 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Q = 145,8 L/s

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,015·200/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Enerji denklemi

İki yüzey de havaya açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden Δz’nin tamamı boruda kaybolur.

19 = (15 + 2,3)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·19/17,3) = 4,642 m/s

Debi

Q = V·π·D²/4 = 4,642·0,03142 = 0,1458 m³/s = 145,8 L/s

Cevap

Q = 145,8 L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 8,111 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = b·y = 2,5·1,1 = 2,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,1 = 4,7 m

R = A/P = 0,5851 m

Hız

V = (1/0,015)·0,5851^2/3·0,004^1/2 = 2,95 m/s

Debi

Q = A·V = 2,75·2,95 = 8,111 m³/s

Cevap

Q = 8,111 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,0009878 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·2,2)·2,2 = 18,04 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,2·√(1 + 1²) = 12,22 m

R = A/P = 1,476 m

Manning’i S için çözün

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·49/(18,04·1,296) = 0,03143

S = 0,03143² = 0,0009878

Cevap

S = 0,0009878

Bu, kilometrede 0,9878 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: η = 69,88 %

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·26 = 10,2 kW

Verim

η = P_h/P_shaft = 10,2/14,6 = 69,88%

Cevap

η = 69,88%

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_shaft = 10,71 kW

Hız

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 6)·0,2611 = 14,1 m

Pompa basma yüksekliği

H = Δz + h_L = 5 + 14,1 = 19,1 m

Mil gücü

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·19,1/0,7 = 10,71 kW

Cevap

P_shaft = 10,71 kW

25.Paranın zaman değeri

Cevap: PV = 9235 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Oran ve dönem sayısı

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·2 = 8

Bugünkü değer

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,083 = €9 234,83

Cevap

PV = €9 234,83

26.Paranın zaman değeri

Cevap: A = 665,4 €

Aylık oran ve taksit sayısı

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·25 = 300

Taksit

N eşit A ödemesinin bugünkü değeri A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i'dir. Bunu krediye eşitleyin ve A'yı çözün.

(1 + i)^−N = 0,5491

A = 150 000·0,002/(1 − 0,5491) = €665,40

Cevap

A = €665,40

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = 25000 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Nakit akışlarının değeri

PV = 10 000/(0,09 − 0,01) = 125 000,00

NPV

NPV = 125 000,00 − 100 000 = €25 000,00

Cevap

NPV = €25 000,00

NBD pozitif, yani proje gerekli getiriden fazlasını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: MIRR = 14,89 %

Düzeltilmiş IRR: uç değer TV’yi bulmak için her girişi yeniden yatırım oranıyla (genellikle sermaye maliyeti) projenin sonuna kadar ileriye bileşik hesaplayın. MIRR, ilk yatırımı TV’ye dönüştüren orandır: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Girişlerin uç değeri

13 000·1,06² = 14 606,80

13 500·1,06¹ = 14 310,00

9 000·1,06⁰ = 9 000,00

TV = 37 916,80

MIRR

MIRR = (37 916,80/25 000)^1/3 − 1 = 14,89%

Cevap

MIRR = 14,89%

29.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6915

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartlaştırın

z = (101,8 − 105)/6,403 = −0,5

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915

Cevap

P = 0,6915

30.Normal dağılım

Cevap: x = 75,4 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,85

Tablodan z

z ≈ 1,04

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 + 1,04·10 = 75,4 puan

Cevap

x = 75,4 puan

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil