FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 10 mP₁ = 30 kN @ 5 mP₂ = 35 kN @ 8 m

R_B = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 5 mP = 55 kN @ 4 mw = 12 kN/m, 2 ile 3 m arasında

R_B = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 4 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 60 kN

F_AB = kN

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 40 kNyatay yük = 15 kN ←

F_AB = kN

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mw = 6 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 3 m

V_x = kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 10 kN @ 1 mw = 8 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2 m

M_x = kN·m

7.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 9 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

150 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 156 mm yukarıda olan 50 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 150 mmh = 240 mmd = 50 mmdelik merkezi: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Simetrik bir I kesitin başlıkları 100 mm genişliğinde ve 10 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 340 mm ve gövdesi 8 mm kalınlığındadır. x eksenine göre 80 kN·m eğilme momenti taşır. Gövde ile üst başlığın birleşim yerindeki eğilme gerilmesinin büyüklüğü σ_j değerini bulun.

B = 100 mmH = 340 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmM = 80 kN·m

σ_j = MPa

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15 kN/m³kum: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15,5 kN/m³kum: γ_sat = 19 kN/m³kil: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

8 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,2, C_r = 0,05 ve e₀ = 0,6. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 50 kPa ve ön konsolidasyon basıncı 100 kPa’dır. Yeni bir bina orta derinlikte 110 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 8 mC_c = 0,2C_r = 0,05e₀ = 0,6σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 100 kPaΔσ = 110 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

5,5 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 1,5 m²/yıl. Üstünde kum bulunan geçirimsiz kaya üzerinde durur, bu yüzden su yalnızca üstten drene olur. %80 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,567. Tabakanın %80 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 5,5 mc_v = 1,5 m²/yılU = 80%T_v = 0,567tek yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

1,5 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1,5 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 400 m uzunluğunda ve iç çapı 200 mm olan bir borudan 2,1 m/s ortalama hızla akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,025 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

V = 2,1 m/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

100 m uzunluğunda, iç çapı 150 mm (Darcy sürtünme faktörü f = 0,02) olan bir boru açık bir hazneden çıkıyor ve havaya serbest jet olarak boşalıyor. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 3 dirsek (her biri K = 0,3) ve bir vana (K = 0,2). g = 9,81 m/s² kullanın. 20 L/s debi için hazne yüzeyi boru çıkışının ne kadar H üstünde olmalıdır?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2

H = m

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Yamuk kesitli bir tuğla kaplama kanalın taban genişliği 5 m ve şev eğimleri 2:1 (yatay:düşey). Su 2 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,015 ve taban eğimi S = 0,002. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 5 my = 2 mz = 2n = 0,015S = 0,002

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

Taban genişliği 2 m ve şev eğimleri 1:1 (yatay:düşey) olan yamuk kesitli bir tuğla kaplama kanal 0,6 m derinlikte üniform akışla 3,2 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,015. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 3,2 m³/sb = 2 my = 0,6 mz = 1n = 0,015

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Verimi %78 olan bir pompa 66 m basma yüksekliğine karşı 100 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Gereken mil gücü P_shaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 100 L/sH = 66 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 100 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 13 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 100 m uzunluğunda, iç çapı 250 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,022; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 8 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi %85. Mil gücü P_shaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 100 L/sΔz = 13 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

25.Paranın zaman değeriOrta

€5 000 tutarını, üç aylık bileşik, yıllık %3 nominal faizle yatırıyorsunuz. 3 yıl sonra yatırımın değeri FV'yi bulun.

PV = €5 0003% / 4n = 3

FV = €

26.Paranın zaman değeriZor

13 yıl sonra €100 000 istiyorsunuz. Aylık bileşik yıllık %6 faiz veren bir hesapta her ayın sonunda aynı tutarı biriktiriyorsunuz. Aylık yatırılacak tutar A değerini bulun.

FV = €100 0006% / 12N = 156

A = €

27.NBD ve IRROrta

€20 000 tutarındaki bir yatırım 1'den 3'e kadar yılların sonunda şu nakit akışlarını sağlar: €9 000, €5 000, €8 000. Sermaye maliyeti %8'tür. Net bugünkü değer NPV'ü bulun.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 5 000CF₃ = 8 000

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €10 000 maliyetindedir ve 1’den 3. yıla kadar her yılın sonunda €6 000, €5 000, €5 500 getirir. Nakit akışları %12 sermaye maliyetiyle yeniden yatırılabilir. Düzeltilmiş iç verim oranı MIRR değerini yüzde olarak bulun.

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000CF₃ = 5 500

MIRR = %

29.Normal dağılımOrta

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 247,5 ile 259,25 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x₁ = 247,5x₂ = 259,25

P =

30.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,04 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 43 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·5 + 35·8

R_B = 430/10 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 43 = 22 kN

Cevap

R_B = 43 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 50 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·4 + 12·1·2,5

R_B = 250/5 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 50 = 17 kN

Cevap

R_B = 50 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −44,72 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 20 = 40 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −40/0,8944 = −44,72 kN

Cevap

F_AB = −44,72 kN (basınç)

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −43,31 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·3 − 15·3 → C_y = 9,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 9,375 = 30,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30,63/0,7071 = −43,31 kN

Cevap

F_AB = −43,31 kN (basınç)

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = 6 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 24 − 6·3 = 6 kN

Cevap

V_x = 6 kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 21 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1 + 8·4·2

R_B = 74/4 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 18,5 = 23,5 kN

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 23,5·2 − 10·(2 − 1) − 8·2·1 = 21 kN·m

Cevap

M_x = 21 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 57,53 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 57,53 mm

Cevap

δ = 57,53 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 3,52 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 9000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·2000³/(48·1,61 × 10¹²) = 0,9317 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 2,588 mm

Toplayın

δ_max = 0,9317 + 2,588 = 3,52 mm

Cevap

δ_max = 3,52 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 248,1 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248,1 kN

Cevap

P_cr = 248,1 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 49,35 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Cevap

σ_cr = 49,35 MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 169,8 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·120 − 1963·156)/(36000 − 1963) = 117,9 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·240³/12 + 36000·2,077² = 173 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·50⁴/64 + 1963·38,08² = 3,154 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 169,8 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 169,8 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_j = 167,7 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 340 − 2·10 = 320 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·340³ − 92·320³)/12

I_x = 7,631 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

y = 170 − 10 = 160 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·160/7,631 × 10⁷ = 167,7 MPa

Cevap

σ_j = 167,7 MPa

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 151,5 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 19,5·7 = 151,5 kPa

Cevap

σ = 151,5 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 57,57 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 15,5·2 + 19·1 + 18,5·2 = 87 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 87 − 29,43 = 57,57 kPa

Cevap

σ′ = 57,57 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 279,4 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 50 + 110 = 160 kPa > 100 kPa

Oturma

σ′_p’ye kadar yeniden sıkışma, ötesinde bakir sıkışma.

S = 0,05·8/(1 + 0,6)·log₁₀(100/50) + 0,2·8/(1 + 0,6)·log₁₀(160/100)

S = 75,26 + 204,1 = 279,4 mm

Cevap

S = 279,4 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 11,43 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H = 5,5 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·5,5²/1,5 = 11,43 yıl

Cevap

t = 11,43 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 36,79 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN

Cevap

F = 36,79 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 119,6 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·3,75 = 119,6 kN

Cevap

F = 119,6 kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 11,24 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 2,1²/(2·9,81) = 0,2248 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(400/0,2)·2,1²/(2·9,81) = 11,24 m

Cevap

h_f = 11,24 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: H = 1,04 m

Hız

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 = 1,6

Enerji denklemi

Çıkış jeti hız yüksekliğini hâlâ taşır; bu bir kayıp değildir ama sağlanması gerekir.

H = (1 + 13,33 + 1,6)·0,06529 = 1,04 m

Cevap

H = 1,04 m

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 63,62 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·2)·2 = 18 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2·√(1 + 2²) = 13,94 m

R = A/P = 1,291 m

Hız

V = (1/0,015)·1,291^2/3·0,002^1/2 = 3,535 m/s

Debi

Q = A·V = 18·3,535 = 63,62 m³/s

Cevap

Q = 63,62 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,002991 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·0,6)·0,6 = 1,56 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0,6·√(1 + 1²) = 3,697 m

R = A/P = 0,422 m

Manning’i S için çözün

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·3,2/(1,56·0,5626) = 0,05469

S = 0,05469² = 0,002991

Cevap

S = 0,002991

Bu, kilometrede 2,991 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_shaft = 83,01 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·66 = 64,75 kW

Mil gücü

P_shaft = P_h/η = 64,75/0,78 = 83,01 kW

Cevap

P_shaft = 83,01 kW

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_shaft = 19,1 kW

Hız

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8,8 + 8)·0,2115 = 3,554 m

Pompa basma yüksekliği

H = Δz + h_L = 13 + 3,554 = 16,55 m

Mil gücü

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·16,55/0,85 = 19,1 kW

Cevap

P_shaft = 19,1 kW

25.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 5469 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Oran ve dönem sayısı

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·3 = 12

Gelecek değer

FV = 5 000·(1 + 0,0075)¹² = 5 000·1,094 = €5 469,03

Cevap

FV = €5 469,03

26.Paranın zaman değeri

Cevap: A = 424,7 €

Aylık oran ve yatırım sayısı

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·13 = 156

Yatırılan tutar

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,005/(2,177 − 1) = €424,72

Cevap

A = €424,72

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = −1029 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Her nakit akışının bugünkü değeri

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 9 000/1,08 = 8 333,33

CF₂/(1 + 0,08)² = 5 000/1,166 = 4 286,69

CF₃/(1 + 0,08)³ = 8 000/1,26 = 6 350,66

Toplayın

NPV = €−1 029,31

Cevap

NPV = €−1 029,31

NBD negatif, yani proje gerekli getiriden azını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: MIRR = 23,04 %

Düzeltilmiş IRR: uç değer TV’yi bulmak için her girişi yeniden yatırım oranıyla (genellikle sermaye maliyeti) projenin sonuna kadar ileriye bileşik hesaplayın. MIRR, ilk yatırımı TV’ye dönüştüren orandır: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Girişlerin uç değeri

6 000·1,12² = 7 526,40

5 000·1,12¹ = 5 600,00

5 500·1,12⁰ = 5 500,00

TV = 18 626,40

MIRR

MIRR = (18 626,40/10 000)^1/3 − 1 = 23,04%

Cevap

MIRR = 23,04%

29.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6593

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5

z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85

Aradaki alan

P = Φ(1,85) − Φ(−0,5) = 0,9678 − 0,3085 = 0,6593

Cevap

P = 0,6593

30.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9868

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Olasılık

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Cevap

P = 0,9868

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil