FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 2 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 3 m uzaklıkta saat yönünde dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_A değerini bulun.

L = 6 mP = 35 kN @ 2 mM = 40 kN·m (saat yönünde) @ 3 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 5 mP = 20 kN @ 1 mw = 3 kN/m, 0 ile 4 m arasında

R_B = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 45 kN

F_AC = kN

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

F: 40 kN ↓F: 10 kN →

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

60 kN @ 4 m5 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 4 mP = 45 kN @ 2 mw = 3 kN/m, 0 ile 4 m arasında

M_max = kN·m

7.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 27 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Ankastre uçtaki eğilme momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 5 mw = 4 kN/m

M_A = kN·m

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

200 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, 30 mm genişliğinde ve 50 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 97,5 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 150 mmkesik: 30 × 50 mmdelik merkezi: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15 kN/m³kum: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15,5 kN/m³kum: γ_sat = 20 kN/m³kil: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

6 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,25, C_r = 0,02 ve e₀ = 0,65. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 120 kPa ve aşırı konsolidasyon oranı OCR = 1,5. Yeni bir bina orta derinlikte 30 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 6 mC_c = 0,25C_r = 0,02e₀ = 0,65σ′₀ = 120 kPaOCR = 1,5Δσ = 30 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

Bir laboratuvar ödometre deneyinde, üstten ve alttan drene edilen 19 mm kalınlığındaki bir kil numunesi 15 dakikada %50 konsolidasyona ulaşıyor. Arazide aynı kil 8 m kalınlığında bir tabaka oluşturuyor. İki kum tabakası arasında bulunur, bu yüzden su üstten ve alttan drene olur. Arazideki tabakanın %50 konsolidasyona ulaşması kaç gün t sürer?

h_lab = 19 mmt_lab = 15 minH = 8 marazi: çift yönlü drenaj

t = gün

17.Hidrostatik kuvvetOrta

3 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 3 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, deniz suyu dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 4 m altında bulunuyor. Basınç merkezinin yüzeyden derinliği y_cp değerini bulun.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 200 m uzunluğunda ve iç çapı 200 mm olan bir borudan 100 L/s debiyle akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

Q = 100 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

İki açık hazne, 200 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 3 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 0,2) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Hazneler arasındaki hangi su seviyesi farkı Δz, 60 L/s debi verir?

Q = 60 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Yamuk kesitli bir çim kaplı toprak kanalın taban genişliği 4,5 m ve şev eğimleri 2:1 (yatay:düşey). Su 2,2 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,03 ve taban eğimi S = 0,0015. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 4,5 my = 2,2 mz = 2n = 0,03S = 0,0015

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

3 m genişliğinde dikdörtgen kesitli bir perdahsız beton kanal 0,9 m derinlikte üniform akışla 4,2 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,014. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 4,2 m³/sb = 3 my = 0,9 mn = 0,014

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Bir pompa 32 m basma yüksekliğine karşı 20 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. Pompa verimi %65, onu çalıştıran elektrik motorunun verimi %94. g = 9,81 m/s² kullanın. Motorun çektiği elektrik gücü P_el değerini kW cinsinden bulun.

Q = 20 L/sH = 32 mη_pump = 65%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 50 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 18 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 600 m uzunluğunda, iç çapı 150 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 6 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompanın eklemesi gereken basma yüksekliği H değerini bulun.

Q = 50 L/sΔz = 18 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

25.Paranın zaman değeriOrta

€12 000 tutarını, aylık bileşik, yıllık %3,6 nominal faizle yatırıyorsunuz. 5 yıl sonra yatırımın değeri FV'yi bulun.

PV = €12 0003,6% / 12n = 5

FV = €

26.Paranın zaman değeriZor

€200 000 tutarındaki bir kredi 25 yıl boyunca eşit aylık taksitlerle ödenir. Faiz oranı aylık bileşik, yıllık %3'dir. Aylık taksit A'ü bulun.

P = €200 0003% / 12N = 300

A = €

27.NBD ve IRROrta

€60 000 tutarındaki bir yatırım 1'den 3'e kadar yılların sonunda şu nakit akışlarını sağlar: €27 000, €25 000, €14 000. Sermaye maliyeti %15'tür. Net bugünkü değer NPV'ü bulun.

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 27 000CF₂ = 25 000CF₃ = 14 000

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €20 000 tutarındadır ve 1'den 3'ye kadar yılların sonunda €7 000, €11 500, €13 500 getirir. İç verim oranı IRR'ü yüzde olarak bulun.

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 11 500CF₃ = 13 500

IRR = %

29.Normal dağılımOrta

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 53,5 ile 85,5 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 65σ = 10x₁ = 53,5x₂ = 85,5

P =

30.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %90 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 16,67 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 35·2 − 40 = 0

R_B = 110/6 = 18,33 kN

Düşey denge

R_A = 35 − 18,33 = 16,67 kN

Cevap

R_A = 16,67 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 8,8 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1 + 3·4·2

R_B = 44/5 = 8,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 8,8 = 23,2 kN

Cevap

R_B = 8,8 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 18 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·1 → C_y = 9 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 9 = 36 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9/0,4472 = −20,12 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−20,12)·0,8944 = 18 kN

Cevap

F_AC = 18 kN (çekme)

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 37,5 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 12,5 kN (T), FG: 37,5 kN (C), GH: 12,5 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 17,68 kN (C), BF: 12,5 kN (C), CG: 0, DH: 12,5 kN (T), BG: 17,68 kN (T), DG: 17,68 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 25 kN, R₂ = 45 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 50, M_D = 72,5, M_E = 90 kN·m, M_F = 45, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = 90 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 51 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 3·4·2

R_B = 114/4 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 28,5 = 28,5 kN

V = 0 nerede?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 22,5 kN

V(2⁺) = 22,5 − 45 = −22,5 kN

Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 28,5·2 − 3·2²/2 = 51 kN·m

Cevap

M_max = 51 kN·m

A’dan x = 2 m uzaklıkta oluşur.

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 8,07 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 27000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 27000·2000³/(3·1,14 × 10¹³) = 6,316 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 1,754 mm

Toplayın

δ = 6,316 + 1,754 = 8,07 mm

Cevap

δ = 8,07 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: M_A = 12,5 kN·m

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·5/8 = 7,5 kN

Ankastre uçtaki moment

Yüklerin ve mesnet kuvvetinin A’ya göre momentleri.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 50 − 37,5 = 12,5 kN·m

Cevap

M_A = 12,5 kN·m

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 6,056 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/10000² = 6056 N = 6,056 kN

Cevap

P_cr = 6,056 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 31,58 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Cevap

σ_cr = 31,58 MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 6,089 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

gövde: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·112,5 + 1400·50)/8400 = 102,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 280·25³/12 + 7000·(112,5 − 102,1)² = 1,124 × 10⁶ mm⁴

gövde: 14·100³/12 + 1400·(50 − 102,1)² = 4,964 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,124 × 10⁶ + 4,964 × 10⁶ = 6,089 × 10⁶ mm⁴ = 6,089 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 6,089 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 55,14 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·75 − 1500·97,5)/(30000 − 1500) = 73,82 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·150³/12 + 30000·1,184² = 56,29 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

30·50³/12 + 1500·23,68² = 1,154 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 55,14 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 55,14 × 10⁶ mm⁴

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 142 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 20,5·4 = 142 kPa

Cevap

σ = 142 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 63,45 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 15,5·1 + 20·2 + 19·3 = 112,5 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 112,5 − 49,05 = 63,45 kPa

Cevap

σ′ = 63,45 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 7,048 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncı

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·120 = 180 kPa

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 120 + 30 = 150 kPa ≤ 180 kPa

Oturma

Kil yeniden sıkışma doğrusu üzerinde kalır.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·6/(1 + 0,65)·log₁₀(150/120) = 7,048 mm

Cevap

S = 7,048 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 1847 gün

Drenaj yolları

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 8/2 = 4 m

Süreyi ölçekleyin

Laboratuvarda ve arazide aynı T_v ve c_v ile t = T_v·H_dr²/c_v.

t_field = 15·(4/0,0095)² = 2,659 × 10⁶ min

t_field = 2,659 × 10⁶/1440 = 1847 gün

Cevap

t = 1847 gün

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 103 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Cevap

F = 103 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: y_cp = 4,789 m

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,75·1,5 = 71,64 kN

Basınç merkezi

Basınç derinlikle arttığından bileşke ağırlık merkezinin altında etkir.

I_c = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,75 + 0,2813/(4,75·1,5) = 4,789 m

Cevap

y_cp = 4,789 m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 7,746 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Ortalama hız

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 3,183²/(2·9,81) = 0,5164 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,2)·3,183²/(2·9,81) = 7,746 m

Cevap

h_f = 7,746 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Δz = 3,272 m

Hız

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,015·200/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Toplam yük kaybı

h_f = 15·0,1859 = 2,789 m

h_m = 2,6·0,1859 = 0,4834 m

Δz = h_f + h_m = 3,272 m

Cevap

Δz = 3,272 m

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 31,11 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·2,2)·2,2 = 19,58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·2,2·√(1 + 2²) = 14,34 m

R = A/P = 1,366 m

Hız

V = (1/0,03)·1,366^2/3·0,0015^1/2 = 1,589 m/s

Debi

Q = A·V = 19,58·1,589 = 31,11 m³/s

Cevap

Q = 31,11 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,001021 m/m

Geometri

A = b·y = 3·0,9 = 2,7 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,9 = 4,8 m

R = A/P = 0,5625 m

Manning’i S için çözün

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·4,2/(2,7·0,6814) = 0,03196

S = 0,03196² = 0,001021

Cevap

S = 0,001021

Bu, kilometrede 1,021 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_el = 10,28 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·32 = 6,278 kW

Mil gücü

P_shaft = 6,278/0,65 = 9,659 kW

Elektrik gücü

P_el = 9,659/0,94 = 10,28 kW

Cevap

P_el = 10,28 kW

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: H = 44,93 m

Hız

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 6)·0,408 = 26,93 m

Pompa basma yüksekliği

İki yüzey de açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden basınç ve hız terimleri düşer.

H = Δz + h_L = 18 + 26,93 = 44,93 m

Cevap

H = 44,93 m

25.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 14363 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Oran ve dönem sayısı

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·5 = 60

Gelecek değer

FV = 12 000·(1 + 0,003)⁶⁰ = 12 000·1,197 = €14 362,74

Cevap

FV = €14 362,74

26.Paranın zaman değeri

Cevap: A = 948,4 €

Aylık oran ve taksit sayısı

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·25 = 300

Taksit

N eşit A ödemesinin bugünkü değeri A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i'dir. Bunu krediye eşitleyin ve A'yı çözün.

(1 + i)^−N = 0,4728

A = 200 000·0,0025/(1 − 0,4728) = €948,42

Cevap

A = €948,42

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = −8413 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Her nakit akışının bugünkü değeri

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 27 000/1,15 = 23 478,26

CF₂/(1 + 0,15)² = 25 000/1,322 = 18 903,59

CF₃/(1 + 0,15)³ = 14 000/1,521 = 9 205,23

Toplayın

NPV = €−8 412,92

Cevap

NPV = €−8 412,92

NBD negatif, yani proje gerekli getiriden azını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 24,61 %

IRR'yi iki taraftan sınırlayın

Oran arttıkça NBD azalır; bu yüzden IRR, pozitif NBD veren oran ile negatif NBD veren oran arasındadır.

NPV(20%) = 1 631,94

NPV(25%) = −128,00

Daraltın

Doğrusal enterpolasyon ilk tahmini verir; tekrarlamak (ya da hesap makinesinin IRR işlevi) kesin oranı verir.

IRR ≈ 20 + 5·1 631,94/(1 631,94 − (−128,00)) = 24,64%

kesin: NPV(24,61%) = 0 → IRR = 24,61%

Cevap

IRR = 24,61%

29.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8547

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15

z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

Aradaki alan

P = Φ(2,05) − Φ(−1,15) = 0,9798 − 0,1251 = 0,8547

Cevap

P = 0,8547

30.Normal dağılım

Cevap: x = 187 cm

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,9

Tablodan z

z ≈ 1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Cevap

x = 187 cm

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil