FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 4 mP₁ = 10 kN @ 2,5 mP₂ = 15 kN @ 3 m

R_B = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 7 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. A’dan 5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve 6 m konumundan 10 m konumundaki serbest uca kadar düzgün yayılı w yükünü taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_B değerini bulun.

AB = 7 mAC = 10 mP = 40 kN @ 5 mw = 8 kN/m, 6 ile 10 m arasında

R_B = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 15 kN ↓F: 15 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 15 kN ↓C: 40 kN ↓G: 40 kN ↓H: 20 kN ←

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12FC elemanı
13HC elemanı

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP₁ = 25 kN @ 2,5 mP₂ = 20 kN @ 5 mmesnetler x = 0 ve x = 4 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

10 kN @ 0 m55 kN @ 12 m55 kN @ 6 m6 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 21 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (çelik)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 17 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

İçi boş dikdörtgen (kutu) bir kesitin dış genişliği B = 160 mm, dış yüksekliği H = 300 mm ve düzgün et kalınlığı t = 10 mm’tir. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

B = 160 mmH = 300 mmt = 10 mm

r = mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

120 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 30 mm genişliğinde ve 40 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 120 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 300 mmkesik: 30 × 40 mmdelik merkezi: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 11 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 16 kN/m³kum: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 10 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 17 kN/m³kum: γ_sat = 19 kN/m³kil: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

6 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,5, C_r = 0,03 ve e₀ = 0,6. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 120 kPa ve aşırı konsolidasyon oranı OCR = 3. Yeni bir bina orta derinlikte 140 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 6 mC_c = 0,5C_r = 0,03e₀ = 0,6σ′₀ = 120 kPaOCR = 3Δσ = 140 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

8,5 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 5 m²/yıl. İki kum tabakası arasında bulunur, bu yüzden su üstten ve alttan drene olur. %60 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,287. Tabakanın %60 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 8,5 mc_v = 5 m²/yılU = 60%T_v = 0,287çift yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

2 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 2 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

3 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 4 m altında bulunuyor. Basınç merkezinin yüzeyden derinliği y_cp değerini bulun.

d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 500 m uzunluğunda ve iç çapı 200 mm olan bir borudan 100 L/s debiyle akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

Q = 100 L/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

İki açık hazne, 300 m uzunluğunda, iç çapı 250 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Üst haznenin su yüzeyi alttakinden 26 m yüksektedir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 4 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 2) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Debi Q değerini L/s cinsinden bulun.

Δz = 26 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Yamuk kesitli bir çim kaplı toprak kanalın taban genişliği 5,5 m ve şev eğimleri 2:1 (yatay:düşey). Su 2,3 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,03 ve taban eğimi S = 0,0008. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 5,5 my = 2,3 mz = 2n = 0,03S = 0,0008

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

2 m genişliğinde dikdörtgen kesitli bir temiz toprak kanal 0,9 m derinlikte üniform akışla 1,9 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,022. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 1,9 m³/sb = 2 my = 0,9 mn = 0,022

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Bir pompa 78 m basma yüksekliğine karşı 60 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. Pompa verimi %85, onu çalıştıran elektrik motorunun verimi %90. g = 9,81 m/s² kullanın. Motorun çektiği elektrik gücü P_el değerini kW cinsinden bulun.

Q = 60 L/sH = 78 mη_pump = 85%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 50 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 5 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 200 m uzunluğunda, iç çapı 150 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 2,5 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi %80. Mil gücü P_shaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 2,5η = 80%

P_shaft = kW

25.Paranın zaman değeriOrta

8 yıl sonra €10 000 gerekiyor. Hesap aylık bileşik, yıllık %2 faiz ödüyor. Bugün ne kadar yatırmalısınız? Bugünkü değer PV'ü bulun.

FV = €10 0002% / 12n = 8

PV = €

26.Paranın zaman değeriZor

14 yıl boyunca her ayın sonunda €300 biriktiriyorsunuz. Hesap aylık bileşik, yıllık %3 faiz ödüyor. Sonunda ne kadar birikmiş olur? FV'ü bulun.

A = €3003% / 12N = 168

FV = €

27.NBD ve IRROrta

€45 000 tutarındaki bir yatırım 1'den 4'e kadar yılların sonunda şu nakit akışlarını sağlar: €20 000, €14 000, €12 000, €19 000. Sermaye maliyeti %5'tür. Net bugünkü değer NPV'ü bulun.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 20 000CF₂ = 14 000CF₃ = 12 000CF₄ = 19 000

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje bugün €50 000 maliyetindedir. Nakit akışı 1. yılın sonunda €6 500 olur ve 7. yılın sonundaki son nakit akışına kadar yıllık %3 büyür. Sermaye maliyeti %12. Net bugünkü değer NPV değerini bulun.

C₀ = €50 000CF₁ = €6 500g = 3%n = 7r = 12%

NPV = €

29.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,8133 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,8133

z =

30.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %40 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 17,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2,5 + 15·3

R_B = 70/4 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 17,5 = 7,5 kN

Cevap

R_B = 17,5 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 65,14 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 40·5 + 32·8

R_B = 456/7 = 65,14 kN

R_A = 72 − 65,14 = 6,857 kN

Cevap

R_B = 65,14 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 22,5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 7,5 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 7,5 kN (C), AF: 31,82 kN (C), HE: 10,61 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 10,61 kN (T), DG: 10,61 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 23,44 kN (T), BC: 23,44 kN (T), CD: 27,81 kN (T), DE: 27,81 kN (T), FG: 75,63 kN (C), GH: 75,63 kN (C), AF: 72,4 kN (C), HE: 46,35 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 53,65 kN (T), HC: 46,35 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 10,94 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2,5 + 20·5

R_B = 162,5/4 = 40,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 40,63 = 4,375 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·2,5 = 4,375·2,5 = 10,94 kN·m

Cevap

M_x = 10,94 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 13 kN, R₂ = 143 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −26, M_D = −56, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −220 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 2,029 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 21000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 21000·1000²·2000²/(3·4,6 × 10¹²·3000) = 2,029 mm

Cevap

δ_P = 2,029 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 7,228 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 17000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 17000·2500³/(48·1,61 × 10¹²) = 3,437 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 3,791 mm

Toplayın

δ_max = 3,437 + 3,791 = 7,228 mm

Cevap

δ_max = 7,228 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 6,759 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1400² = 6759 N = 6,759 kN

Cevap

P_cr = 6,759 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 36,26 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/7,5 = 233,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233,3² = 36,26 MPa

Cevap

σ_cr = 36,26 MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 108,7 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

b = 140 mm, h = 280 mm

A = BH − bh = 160·300 − 140·280 = 8800 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,039 × 10⁸ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(1,039 × 10⁸/8800) = 108,7 mm

Cevap

r = 108,7 mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·150 − 1200·120)/(36000 − 1200) = 151 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·300³/12 + 36000·−1,034² = 270 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

30·40³/12 + 1200·−31,03² = 1,316 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 138,8 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 20,5·7 = 207,5 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 207,5 − 68,67 = 138,8 kPa

Cevap

σ′ = 138,8 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 105,5 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·4

σ = 17·2 + 19·4 + 18,5·4 = 184 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8 = 78,48 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 184 − 78,48 = 105,5 kPa

Cevap

σ′ = 105,5 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 37,78 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncı

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·120 = 360 kPa

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 120 + 140 = 260 kPa ≤ 360 kPa

Oturma

Kil yeniden sıkışma doğrusu üzerinde kalır.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·6/(1 + 0,6)·log₁₀(260/120) = 37,78 mm

Cevap

S = 37,78 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 1,037 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H/2 = 8,5/2 = 4,25 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·4,25²/5 = 1,037 yıl

Cevap

t = 1,037 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 80,93 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3 = 80,93 kN

Cevap

F = 80,93 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: y_cp = 4,789 m

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·4,5 = 209,7 kN

Basınç merkezi

Basınç derinlikle arttığından bileşke ağırlık merkezinin altında etkir.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,75 + 0,8438/(4,75·4,5) = 4,789 m

Cevap

y_cp = 4,789 m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 19,37 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Ortalama hız

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 3,183²/(2·9,81) = 0,5164 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,2)·3,183²/(2·9,81) = 19,37 m

Cevap

h_f = 19,37 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Q = 232,7 L/s

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,015·300/0,25 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Enerji denklemi

İki yüzey de havaya açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden Δz’nin tamamı boruda kaybolur.

26 = (18 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·26/22,7) = 4,74 m/s

Debi

Q = V·π·D²/4 = 4,74·0,04909 = 0,2327 m³/s = 232,7 L/s

Cevap

Q = 232,7 L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 28,34 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·2,3)·2,3 = 23,23 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·2,3·√(1 + 2²) = 15,79 m

R = A/P = 1,472 m

Hız

V = (1/0,03)·1,472^2/3·0,0008^1/2 = 1,22 m/s

Debi

Q = A·V = 23,23·1,22 = 28,34 m³/s

Cevap

Q = 28,34 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,00146 m/m

Geometri

A = b·y = 2·0,9 = 1,8 m²

P = b + 2y = 2 + 2·0,9 = 3,8 m

R = A/P = 0,4737 m

Manning’i S için çözün

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·1,9/(1,8·0,6077) = 0,03822

S = 0,03822² = 0,00146

Cevap

S = 0,00146

Bu, kilometrede 1,46 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_el = 60,01 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·78 = 45,91 kW

Mil gücü

P_shaft = 45,91/0,85 = 54,01 kW

Elektrik gücü

P_el = 54,01/0,9 = 60,01 kW

Cevap

P_el = 60,01 kW

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_shaft = 8,695 kW

Hız

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 2,5)·0,408 = 9,181 m

Pompa basma yüksekliği

H = Δz + h_L = 5 + 9,181 = 14,18 m

Mil gücü

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·14,18/0,8 = 8,695 kW

Cevap

P_shaft = 8,695 kW

25.Paranın zaman değeri

Cevap: PV = 8523 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Oran ve dönem sayısı

i = 0,02/12 = 0,001667

N = 12·8 = 96

Bugünkü değer

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,173 = €8 522,57

Cevap

PV = €8 522,57

26.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 62540 €

Aylık oran ve yatırım sayısı

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·14 = 168

Yatırımların gelecek değeri

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,521 − 1)/0,0025 = €62 539,69

Cevap

FV = €62 539,69

Kendiniz €50 400 yatırdınız; geri kalanı faizdir.

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = 12743 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Her nakit akışının bugünkü değeri

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 20 000/1,05 = 19 047,62

CF₂/(1 + 0,05)² = 14 000/1,103 = 12 698,41

CF₃/(1 + 0,05)³ = 12 000/1,158 = 10 366,05

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 19 000/1,216 = 15 631,35

Toplayın

NPV = €12 743,43

Cevap

NPV = €12 743,43

NBD pozitif, yani proje gerekli getiriden fazlasını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: NPV = −17957 €

Büyüyen anüitenin bugünkü değeri

((1,03)/(1,12))⁷ = 0,5563

PV = 6 500/(0,12 − 0,03)·(1 − 0,5563) = 32 042,65

NPV

NPV = 32 042,65 − 50 000 = −€17 957,35

Cevap

NPV = −€17 957,35

NBD negatif, yani proje gerekli getiriden azını kazandırır.

29.Normal dağılım

Cevap: z = −0,89

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,8133 = 0,1867

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,1867 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −0,89

Cevap

z = −0,89

30.Normal dağılım

Cevap: x = 490 h

Soldaki alan

Φ(z) = 0,4

Tablodan z

z ≈ −0,25

Özgün birimlere geri dönüş

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Cevap

x = 490 h

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Yöntem

Kafes: düğüm yöntemi

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Zeminde efektif gerilme

Konsolidasyon oturması

Hidrostatik kuvvet

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Açık kanal akışı (Manning)

Pompalar ve pompa gücü

Paranın zaman değeri

Yöntem

NBD ve IRR

Yöntem

Normal dağılım

Yöntem

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Serbest cisim diyagramı

Denge

Cevap

Yayılı yükün bileşkesi

Denge

Cevap

C düğüm noktası

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Cevap

D düğüm noktası

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

Her işaretteki eğilme momenti

Cevap

Tutarlı birimler

Yükün altındaki sehim

Cevap

Tutarlı birimler

Her yük tek başına

Toplayın

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

En küçük atalet momenti

Atalet yarıçapı ve narinlik

Kritik gerilme

Cevap

Net alan ve atalet momenti

Atalet yarıçapı

Cevap

Ağırlık merkezi

Tam levha, ȳ’ye göre

Delik, ȳ’ye göre

Çıkarın

Cevap

Toplam gerilme

Boşluk suyu basıncı

Efektif gerilme

Cevap

Toplam gerilme

Boşluk suyu basıncı

Efektif gerilme

Cevap

Ön konsolidasyon basıncı

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

Oturma

Cevap

Drenaj yolu

Süre

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun