FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 5 mP₁ = 20 kN @ 2 mP₂ = 55 kN @ 3,5 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 8 mP = 55 kN @ 7 mw = 6 kN/m, 2 ile 8 m arasında

R_B = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 3 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 15 kN

F_AC = kN

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

F: 40 kN ↓F: 15 kN →G: 35 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP₁ = 15 kN @ 3 mP₂ = 25 kN @ 6 mmesnetler x = 0 ve x = 5 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 0 m15 kN @ 12 m35 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (çelik)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 50 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mmM = 50 kN·m

σ_alt = MPa

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 16,5 kN/m³kum: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15,5 kN/m³kum: γ_sat = 19,5 kN/m³kil: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

6,5 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,25, C_r = 0,05 ve e₀ = 0,65. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 50 kPa ve ön konsolidasyon basıncı 170 kPa’dır. Yeni bir bina orta derinlikte 30 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 6,5 mC_c = 0,25C_r = 0,05e₀ = 0,65σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 30 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

6 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 2 m²/yıl. Üstünde kum bulunan geçirimsiz kaya üzerinde durur, bu yüzden su yalnızca üstten drene olur. %60 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,287. Tabakanın %60 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 6 mc_v = 2 m²/yılU = 60%T_v = 0,287tek yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

1 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 1 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

3 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, deniz suyu dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 3 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 800 m uzunluğunda ve iç çapı 50 mm olan bir borudan 6 L/s debiyle akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,03 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

Q = 6 L/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

400 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm (Darcy sürtünme faktörü f = 0,015) olan bir boru açık bir hazneden çıkıyor ve havaya serbest jet olarak boşalıyor. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 3 dirsek (her biri K = 0,3) ve bir vana (K = 5). g = 9,81 m/s² kullanın. 100 L/s debi için hazne yüzeyi boru çıkışının ne kadar H üstünde olmalıdır?

Q = 100 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

İç çapı 300 mm olan beton bir yağmur suyu kanalı tam dolu akıyor (basınç altında değil, açık kanal olarak). Manning n = 0,013 ve eğim S = 0,001. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

1 m genişliğinde dikdörtgen kesitli bir perdahlı beton kanal 0,6 m derinlikte üniform akışla 1,3 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,012. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 1,3 m³/sb = 1 my = 0,6 mn = 0,012

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Bir deneyde pompa 62 m basma yüksekliğine karşı 80 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basarken mili 81,1 kW çekiyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi η değerini yüzde olarak bulun.

Q = 80 L/sH = 62 mP_shaft = 81,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 50 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 11 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 500 m uzunluğunda, iç çapı 150 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,022; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 8 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi %85. Mil gücü P_shaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

25.Paranın zaman değeriOrta

€20 000 tutarını sürekli bileşik faizle yıllık %4 oranından yatırıyorsunuz. 9 yıl sonraki değer FV değerini bulun.

PV = €20 000r = 4%t = 9

FV = €

26.Paranın zaman değeriZor

€15 000 tutarındaki bir kredi 4 yıl boyunca eşit aylık taksitlerle ödenir. Faiz oranı aylık bileşik, yıllık %6'dir. Aylık taksit A'ü bulun.

P = €15 0006% / 12N = 48

A = €

27.NBD ve IRROrta

€30 000 tutarındaki bir yatırım 1'den 4'e kadar yılların sonunda şu nakit akışlarını sağlar: €9 000, €14 000, €13 000, €12 000. Sermaye maliyeti %12'tür. Net bugünkü değer NPV'ü bulun.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 14 000CF₃ = 13 000CF₄ = 12 000

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

€50 000 tutarındaki bir yatırım 10 yıl boyunca her yılın sonunda €10 000 getiriyor. İç verim oranı IRR değerini yüzde olarak bulun.

C₀ = €50 000CF = €10 000n = 10

IRR = %

29.Normal dağılımOrta

X ortalaması 12 min, standart sapması 1,5 min olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 20 min, standart sapması 2 min olan normaldir. X + Y’nin 33,3 min değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 33,3 min

P =

30.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,02 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 28,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·2 + 55·3,5

R_B = 232,5/5 = 46,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 46,5 = 28,5 kN

Cevap

R_A = 28,5 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 70,63 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·7 + 6·6·5

R_B = 565/8 = 70,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 91 − 70,63 = 20,38 kN

Cevap

R_B = 70,63 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 6,667 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 5 = 10 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,6 = −8,333 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−8,333)·0,8 = 6,667 kN

Cevap

F_AC = 6,667 kN (çekme)

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 74,58 kN (T), BC: 80,83 kN (T), CD: 80,83 kN (T), DE: 40,42 kN (T), FG: 74,58 kN (C), GH: 40,42 kN (C), AF: 74,48 kN (C), HE: 50,52 kN (C), BF: 4,688 kN (T), CG: 0, DH: 30,31 kN (T), BG: 7,813 kN (C), DG: 50,52 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 3 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3 + 25·6

R_B = 195/5 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 39 = 1 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·3 = 1·3 = 3 kN·m

Cevap

M_x = 3 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 2 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 70 kN, R₂ = 25 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −90 kN·m, M_C = −40, M_D = 10, M_E = −10, M_F = −30, M_G = 0

Cevap

İşaret B: M_B = −90 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 67,68 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·9,35 × 10¹⁰) = 67,68 mm

Cevap

δ = 67,68 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 12,66 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·3000⁴/(384·200000·8,333) = 1,266 × 10⁷ mm⁴

I_req = 12,66 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 12,66 × 10⁶ mm⁴

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 187,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/750² = 187157 N = 187,2 kN

Cevap

P_cr = 187,2 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 35,25 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Cevap

σ_cr = 35,25 MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 45,67 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

gövde: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·295 + 2240·140)/5240 = 228,7 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 100·30³/12 + 3000·(295 − 228,7)² = 1,34 × 10⁷ mm⁴

gövde: 8·280³/12 + 2240·(140 − 228,7)² = 3,227 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,34 × 10⁷ + 3,227 × 10⁷ = 4,567 × 10⁷ mm⁴ = 45,67 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 45,67 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 323,5 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

gövde: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·172,5 + 2880·80)/6880 = 133,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 160·25³/12 + 4000·(172,5 − 133,8)² = 6,206 × 10⁶ mm⁴

gövde: 18·160³/12 + 2880·(80 − 133,8)² = 1,447 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,206 × 10⁶ + 1,447 × 10⁷ = 2,068 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 133,8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·133,8/2,068 × 10⁷ = 323,5 MPa

Cevap

σ_alt = 323,5 MPa

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 84,5 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·4 + 18,5·1 = 84,5 kPa

Cevap

σ = 84,5 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 104 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 15,5·3 + 19,5·1 + 19·2 = 104 kPa

Cevap

σ = 104 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 40,21 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 50 + 30 = 80 kPa ≤ 170 kPa

Oturma

Kil yeniden sıkışma doğrusu üzerinde kalır.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·6,5/(1 + 0,65)·log₁₀(80/50) = 40,21 mm

Cevap

S = 40,21 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 5,166 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H = 6 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·6²/2 = 5,166 yıl

Cevap

t = 5,166 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 73,58 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Cevap

F = 73,58 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 320,5 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,25·7,5 = 320,5 kN

Cevap

F = 320,5 kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 228,4 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Ortalama hız

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,05)·3,056²/(2·9,81) = 228,4 m

Cevap

h_f = 228,4 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: H = 19,31 m

Hız

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,015·400/0,2 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Enerji denklemi

Çıkış jeti hız yüksekliğini hâlâ taşır; bu bir kayıp değildir ama sağlanması gerekir.

H = (1 + 30 + 6,4)·0,5164 = 19,31 m

Cevap

H = 19,31 m

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 0,03058 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Hız

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,001^1/2 = 0,4326 m/s

Debi

Q = A·V = 0,07069·0,4326 = 0,03058 m³/s

Cevap

Q = 0,03058 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,003822 m/m

Geometri

A = b·y = 1·0,6 = 0,6 m²

P = b + 2y = 1 + 2·0,6 = 2,2 m

R = A/P = 0,2727 m

Manning’i S için çözün

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·1,3/(0,6·0,4206) = 0,06182

S = 0,06182² = 0,003822

Cevap

S = 0,003822

Bu, kilometrede 3,822 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: η = 60 %

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·62 = 48,66 kW

Verim

η = P_h/P_shaft = 48,66/81,1 = 60%

Cevap

η = 60%

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_shaft = 25,5 kW

Hız

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (73,33 + 8)·0,408 = 33,19 m

Pompa basma yüksekliği

H = Δz + h_L = 11 + 33,19 = 44,19 m

Mil gücü

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·44,19/0,85 = 25,5 kW

Cevap

P_shaft = 25,5 kW

25.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 28667 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Üs

r·t = 0,04·9 = 0,36

e^0,36 = 1,433

Gelecek değer

FV = 20 000·1,433 = €28 666,59

Cevap

FV = €28 666,59

26.Paranın zaman değeri

Cevap: A = 352,3 €

Aylık oran ve taksit sayısı

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·4 = 48

Taksit

N eşit A ödemesinin bugünkü değeri A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i'dir. Bunu krediye eşitleyin ve A'yı çözün.

(1 + i)^−N = 0,7871

A = 15 000·0,005/(1 − 0,7871) = €352,28

Cevap

A = €352,28

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = 6076 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Her nakit akışının bugünkü değeri

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 9 000/1,12 = 8 035,71

CF₂/(1 + 0,12)² = 14 000/1,254 = 11 160,71

CF₃/(1 + 0,12)³ = 13 000/1,405 = 9 253,14

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 12 000/1,574 = 7 626,22

Toplayın

NPV = €6 075,79

Cevap

NPV = €6 075,79

NBD pozitif, yani proje gerekli getiriden fazlasını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 15,1 %

Gerekli anüite faktörü

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 50 000/10 000 = 5

Oranı çözün

Oran arttıkça anüite faktörü azalır; oranı iki değer arasına alın ve aralığı daraltın.

i = 15%: 5,019

i = 16%: 4,833

IRR = 15,1%

Cevap

IRR = 15,1%

29.Normal dağılım

Cevap: P = 0,3015

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standartlaştırın

z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015

Cevap

P = 0,3015

30.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8665

Farkın dağılımı

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Cevap

P = 0,8665

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Yöntem

Kafes: düğüm yöntemi

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Zeminde efektif gerilme

Konsolidasyon oturması

Hidrostatik kuvvet

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Açık kanal akışı (Manning)

Pompalar ve pompa gücü

Paranın zaman değeri

Yöntem

NBD ve IRR

Yöntem

Normal dağılım

Yöntem

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Serbest cisim diyagramı

Denge

Cevap

Serbest cisim diyagramı

Denge

Cevap

Mesnet tepkileri

C düğümü

Cevap

C düğüm noktası

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

Her işaretteki eğilme momenti

Cevap

Tutarlı birimler

Sehim

Cevap

Sehim sınırı

Gereken atalet momenti

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

En küçük atalet momenti

Atalet yarıçapı ve narinlik

Kritik gerilme

Cevap

İki dikdörtgene ayırın

Ağırlık merkezi

Paralel eksen teoremi

Cevap

İki dikdörtgene ayırın

Ağırlık merkezi

Paralel eksen teoremi

Eğilme gerilmesi

Cevap

Toplam gerilme

Cevap

Toplam gerilme

Cevap

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

Oturma

Cevap

Drenaj yolu

Süre

Cevap

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

Bileşke kuvvet

Cevap

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun