FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 10 mP₁ = 45 kN @ 3 mP₂ = 55 kN @ 5 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Bileşik bir kiriş A’da duvara ankastredir, C’de (A’dan 4 m) bir iç mafsalı vardır ve D’de (A’dan 8 m) bir kayıcı mesnede oturur. Taşıdığı yükler: A’dan 7 m uzaklıkta bir P tekil yükü, tüm CD kısmında düzgün yayılı w yükü. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

AC = 4 mAD = 8 mP = 80 kN @ 7 mw = 12 kN/m, 4 ile 8 m arasında

M_A = kN·m

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 15 kN ↓C: 35 kN ↓D: 15 kN ↓H: 20 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12FC elemanı
13HC elemanı

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 50 kNyatay yük = 15 kN ←

F_AB = kN

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 6,5 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 8 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 6,5 m

V_x = kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

35 kN @ 12 m60 kN @ 6 m6 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Kiriş sehimiZor

150 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 150 mm

h_req = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 75 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 75 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

120 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 80 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 5 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_alt = MPa

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki boşluk suyu basıncı u değerini bulun.

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15 kN/m³kum: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 17 kN/m³kum: γ_sat = 18,5 kN/m³kil: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

2 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,35, C_r = 0,05 ve e₀ = 0,95. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 120 kPa ve aşırı konsolidasyon oranı OCR = 2,5. Yeni bir bina orta derinlikte 180 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 2 mC_c = 0,35C_r = 0,05e₀ = 0,95σ′₀ = 120 kPaOCR = 2,5Δσ = 180 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

6 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 4 m²/yıl. İki kum tabakası arasında bulunur, bu yüzden su üstten ve alttan drene olur. %80 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,567. Tabakanın %80 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 6 mc_v = 4 m²/yılU = 80%T_v = 0,567çift yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

1 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 0,5 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1,5 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, deniz suyu dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 800 m uzunluğunda ve iç çapı 50 mm olan bir borudan 4 L/s debiyle akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,03 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

Q = 4 L/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

İki açık hazne, 200 m uzunluğunda, iç çapı 150 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 4 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 5) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Hazneler arasındaki hangi su seviyesi farkı Δz, 50 L/s debi verir?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

İç çapı 300 mm olan beton bir yağmur suyu kanalı yarı dolu akıyor. Manning n = 0,013 ve eğim S = 0,003. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

Taban genişliği 2 m ve şev eğimleri 1:1 (yatay:düşey) olan yamuk kesitli bir çakıl kanal 2,4 m derinlikte üniform akışla 30 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,025. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 30 m³/sb = 2 my = 2,4 mz = 1n = 0,025

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Bir pompa 12 m basma yüksekliğine karşı 80 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. Pompa verimi %82, onu çalıştıran elektrik motorunun verimi %95. g = 9,81 m/s² kullanın. Motorun çektiği elektrik gücü P_el değerini kW cinsinden bulun.

Q = 80 L/sH = 12 mη_pump = 82%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 10 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 5 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 100 m uzunluğunda, iç çapı 100 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 5 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi %85. Mil gücü P_shaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 10 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 5η = 85%

P_shaft = kW

25.Paranın zaman değeriOrta

Bir kredi kartı yıllık %16 nominal faiz uyguluyor, günlük bileşik. Efektif yıllık faiz oranı EAR değerini yüzde olarak bulun.

r = 16%m = 365

EAR = %

26.Paranın zaman değeriZor

25 yıl boyunca her ayın sonunda €100 biriktiriyorsunuz. Hesap aylık bileşik, yıllık %2,4 faiz ödüyor. Sonunda ne kadar birikmiş olur? FV'ü bulun.

A = €1002,4% / 12N = 300

FV = €

27.NBD ve IRROrta

Bir proje bugün €100 000 maliyetindedir. Birinci yılın sonunda €8 000 sağlar ve nakit akışı sonra sonsuza kadar yıllık %3 büyür. Sermaye maliyeti %10. Net bugünkü değer NPV değerini bulun.

C₀ = €100 000CF₁ = €8 000g = 3%r = 10%

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €40 000 tutarındadır ve 1'den 2'ye kadar yılların sonunda €29 500, €18 500 getirir. İç verim oranı IRR'ü yüzde olarak bulun.

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 500CF₂ = 18 500

IRR = %

29.Normal dağılımOrta

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 200,8 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,8 mm

P =

30.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = puan

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 59 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·3 + 55·5

R_B = 410/10 = 41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 41 = 59 kN

Cevap

R_A = 59 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: M_A = 176 kN·m

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın. Bir iç mafsal eğilme momenti taşıyamaz; bu bir ek denklem verir: her iki taraftaki kuvvetlerin mafsala göre momenti sıfırdır.

CD kısmı

Mafsalda moment yoktur, bu yüzden yalnızca CD üzerindeki C’ye göre momentler dengelenmelidir.

W = 12·4 = 48 kN @ 2 m referans: C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 80·3 + 48·2

R_D = 84 kN

V_C = 128 − 84 = 44 kN

AC kısmı

Mafsal kuvveti V_C, AC üzerinde aşağı doğru etkir (CD üzerindeki etkisine eşit ve zıt).

R_A = 44 = 44 kN

M_A = 44·4 = 176 kN·m

Cevap

M_A = 176 kN·m

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

G düğüm noktası

FG ve GH aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 37,5 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 47,5 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 53,03 kN (C), HE: 67,18 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 31,82 kN (T), HC: 17,68 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −51,65 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·1 − 15·3 → C_y = 1 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 1 = 49 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −49/0,9487 = −51,65 kN

Cevap

F_AB = −51,65 kN (basınç)

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = −12 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

x = 6,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 40 − 8·6,5 = −12 kN

Cevap

V_x = −12 kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 6 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 47 kN, R₂ = 108 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 82, M_C = 140, M_D = 174 kN·m, M_E = 64, M_F = −70, M_G = 0

Cevap

İşaret D: M_D = 174 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 46,78 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·8000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 46,78 mm

Cevap

δ_max = 46,78 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 220 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,332 × 10⁸ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·1,332 × 10⁸/150)^1/3 = 220 mm

Cevap

h_req = 220 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 50,36 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/2100² = 50355 N = 50,36 kN

Cevap

P_cr = 50,36 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 67,61 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·75000 = 225000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 67,61 mm

Cevap

d = 67,61 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 177,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (24000·100 − 2827·80)/(24000 − 2827) = 102,7 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·200³/12 + 24000·−2,671² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·−22,67² = 2,089 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 26,52 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

gövde: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·247,5 + 2880·120)/4680 = 169 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·15³/12 + 1800·(247,5 − 169)² = 1,111 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·240³/12 + 2880·(120 − 169)² = 2,075 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,111 × 10⁷ + 2,075 × 10⁷ = 3,186 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 169 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·169/3,186 × 10⁷ = 26,52 MPa

Cevap

σ_alt = 26,52 MPa

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: u = 49,05 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Cevap

u = 49,05 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 122 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 17·2 + 18,5·2 + 17·3 = 122 kPa

Cevap

σ = 122 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 20,41 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncı

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·120 = 300 kPa

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 120 + 180 = 300 kPa ≤ 300 kPa

Oturma

Kil yeniden sıkışma doğrusu üzerinde kalır.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·2/(1 + 0,95)·log₁₀(300/120) = 20,41 mm

Cevap

S = 20,41 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 1,276 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H/2 = 6/2 = 3 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·3²/4 = 1,276 yıl

Cevap

t = 1,276 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 58,86 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Cevap

F = 58,86 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 37,71 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·1,5 = 37,71 kN

Cevap

F = 37,71 kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 101,5 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Ortalama hız

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 101,5 m

Cevap

h_f = 101,5 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Δz = 11,3 m

Hız

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,015·200/0,15 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Toplam yük kaybı

h_f = 20·0,408 = 8,161 m

h_m = 7,7·0,408 = 3,142 m

Δz = h_f + h_m = 11,3 m

Cevap

Δz = 11,3 m

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 0,02648 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = 0,03534 m², R = D/4 = 0,075 m

Hız

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,003^1/2 = 0,7493 m/s

Debi

Q = A·V = 0,03534·0,7493 = 0,02648 m³/s

Cevap

Q = 0,02648 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,003949 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·2,4)·2,4 = 10,56 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2,4·√(1 + 1²) = 8,788 m

R = A/P = 1,202 m

Manning’i S için çözün

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·30/(10,56·1,13) = 0,06284

S = 0,06284² = 0,003949

Cevap

S = 0,003949

Bu, kilometrede 3,949 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_el = 12,09 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·12 = 9,418 kW

Mil gücü

P_shaft = 9,418/0,82 = 11,48 kW

Elektrik gücü

P_el = 11,48/0,95 = 12,09 kW

Cevap

P_el = 12,09 kW

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_shaft = 0,7678 kW

Hız

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,08263 = 1,653 m

Pompa basma yüksekliği

H = Δz + h_L = 5 + 1,653 = 6,653 m

Mil gücü

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,01·6,653/0,85 = 0,7678 kW

Cevap

P_shaft = 0,7678 kW

25.Paranın zaman değeri

Cevap: EAR = 17,35 %

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Dönem başına oran

r/m = 0,16/365 = 0,0004384

Bir yıl boyunca bileşik

EAR = (1 + 0,0004384)³⁶⁵ − 1 = 1,173 − 1 = 17,35%

Cevap

EAR = 17,35%

Faiz yılda birden fazla kez bileşik hesaplandığında EAR her zaman nominal orandan büyüktür.

26.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 41051 €

Aylık oran ve yatırım sayısı

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·25 = 300

Yatırımların gelecek değeri

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,821 − 1)/0,002 = €41 051,37

Cevap

FV = €41 051,37

Kendiniz €30 000 yatırdınız; geri kalanı faizdir.

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = 14286 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Nakit akışlarının değeri

PV = 8 000/(0,1 − 0,03) = 114 285,71

NPV

NPV = 114 285,71 − 100 000 = €14 285,71

Cevap

NPV = €14 285,71

NBD pozitif, yani proje gerekli getiriden fazlasını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 14,24 %

IRR'yi iki taraftan sınırlayın

Oran arttıkça NBD azalır; bu yüzden IRR, pozitif NBD veren oran ile negatif NBD veren oran arasındadır.

NPV(10%) = 2 107,44

NPV(15%) = −359,17

Daraltın

Doğrusal enterpolasyon ilk tahmini verir; tekrarlamak (ya da hesap makinesinin IRR işlevi) kesin oranı verir.

IRR ≈ 10 + 5·2 107,44/(2 107,44 − (−359,17)) = 14,27%

kesin: NPV(14,24%) = 0 → IRR = 14,24%

Cevap

IRR = 14,24%

29.Normal dağılım

Cevap: P = 0,0548

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (200,8 − 200)/0,5 = 1,6

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(1,6) = 1 − 0,9452 = 0,0548

Cevap

P = 0,0548

30.Normal dağılım

Cevap: x = 119,2 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 puan

Cevap

x = 119,22 puan

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil