FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 8 mP₁ = 50 kN @ 2 mP₂ = 55 kN @ 5 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 5 mP = 40 kN @ 1,5 mw = 3 kN/m, 1 ile 5 m arasında

R_A = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 10 kN ↓D: 35 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12FC elemanı
13HC elemanı

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 40 kNyatay yük = 10 kN →

F_AC = kN

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mP₁ = 30 kN @ 1 mP₂ = 25 kN @ 2,5 m

M_max = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

35 kN @ 6 m40 kN @ 2 m5 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 19 kNa = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 8 mw = 15 kN/m

R_B = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 135 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 135 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

100 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 90 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 35 MPa, basınçta 120 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük negatif eğilme momenti M_allow değerini bulun (büyüklüğünü verin).

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki boşluk suyu basıncı u değerini bulun.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 16,5 kN/m³kum: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 8,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 16,5 kN/m³kum: γ_sat = 18,5 kN/m³kil: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

3 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,3, C_r = 0,03 ve e₀ = 0,85. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 95 kPa ve aşırı konsolidasyon oranı OCR = 1,5. Yeni bir bina orta derinlikte 180 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 3 mC_c = 0,3C_r = 0,03e₀ = 0,85σ′₀ = 95 kPaOCR = 1,5Δσ = 180 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

8,5 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 5 m²/yıl. Üstünde kum bulunan geçirimsiz kaya üzerinde durur, bu yüzden su yalnızca üstten drene olur. %60 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,287. Tabakanın %60 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 8,5 mc_v = 5 m²/yılU = 60%T_v = 0,287tek yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

1,5 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 1,5 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, deniz suyu dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2 m altında bulunuyor. Basınç merkezinin yüzeyden derinliği y_cp değerini bulun.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 100 m uzunluğunda ve iç çapı 150 mm olan bir borudan 50 L/s debiyle akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,018 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

Q = 50 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

İki açık hazne, 100 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,02 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Üst haznenin su yüzeyi alttakinden 12 m yüksektedir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 3 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 0,2) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Debi Q değerini L/s cinsinden bulun.

Δz = 12 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Dikdörtgen kesitli bir perdahsız beton kanal 2 m genişliğinde. Su 1,1 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,014 ve taban eğimi S = 0,002. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 2 my = 1,1 mn = 0,014S = 0,002

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

İç çapı 600 mm olan beton bir kanalizasyon borusu (Manning n = 0,013) tam dolu akarken 1 m/s’lik kendi kendini temizleme hızına ulaşmalıdır. En küçük eğim S değerini (m/m cinsinden) bulun.

D = 600 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Bir deneyde pompa 58 m basma yüksekliğine karşı 20 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basarken mili 15,8 kW çekiyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi η değerini yüzde olarak bulun.

Q = 20 L/sH = 58 mP_shaft = 15,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 80 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 12 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 500 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,025; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 8 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Üst tank kapalıdır ve suyun üzerindeki hava 400 kPa etkin basınçtadır. Pompanın eklemesi gereken basma yüksekliği H değerini bulun.

Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 400 kPa

H = m

25.Paranın zaman değeriOrta

Bir mülkün gelecek yıl €8 000 net kira getirmesi bekleniyor. Kiranın sonsuza kadar yıllık %1,5 artması bekleniyor. Gerekli getiri yıllık %7,5. Mülkün bugünkü değeri PV değerini bulun.

C₁ = €8 000g = 1,5%r = 7,5%

PV = €

26.Paranın zaman değeriZor

8 yıl boyunca her ayın sonunda €250 biriktiriyorsunuz. Hesap aylık bileşik, yıllık %6 faiz ödüyor. Sonunda ne kadar birikmiş olur? FV'ü bulun.

A = €2506% / 12N = 96

FV = €

27.NBD ve IRROrta

€75 000 tutarındaki bir yatırım 1'den 3'e kadar yılların sonunda şu nakit akışlarını sağlar: €15 000, €22 000, €34 000. Sermaye maliyeti %8'tür. Net bugünkü değer NPV'ü bulun.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 15 000CF₂ = 22 000CF₃ = 34 000

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje bugün €80 000 maliyetindedir. Nakit akışı 1. yılın sonunda €13 500 olur ve 7. yılın sonundaki son nakit akışına kadar yıllık %5 büyür. Sermaye maliyeti %12. Net bugünkü değer NPV değerini bulun.

C₀ = €80 000CF₁ = €13 500g = 5%n = 7r = 12%

NPV = €

29.Normal dağılımOrta

bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 9 tanesinin toplam kütlesinin 837 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 837 kg

P =

30.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = puan

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 58,13 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 55·5

R_B = 375/8 = 46,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 46,88 = 58,13 kN

Cevap

R_A = 58,13 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 32,8 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·1,5 + 3·4·3

R_B = 96/5 = 19,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 19,2 = 32,8 kN

Cevap

R_A = 32,8 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

G düğüm noktası

FG ve GH aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 16,25 kN (T), BC: 16,25 kN (T), CD: 28,75 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 22,5 kN (C), AF: 22,98 kN (C), HE: 40,66 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 8,839 kN (T), HC: 8,839 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 20,42 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·1 + 10·3 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 8,75 = 31,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/7,616 = 0,3939, cos γ = 7/7,616 = 0,9191

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,75/0,3939 = −22,21 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,21)·0,9191 = 20,42 kN

Cevap

F_AC = 20,42 kN (çekme)

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 46,25 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1 + 25·2,5

R_B = 92,5/5 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 18,5 = 36,5 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P₁: M = R_A·1 = 36,5·1 = 36,5 kN·m

yük altında P₂: M = R_B·2,5 = 18,5·2,5 = 46,25 kN·m

En büyük değer

M_max = 46,25 kN·m (yük altında P₂)

Cevap

M_max = 46,25 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 12,5 kN, R₂ = 82,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 10, M_C = 15, M_D = −25, M_E = −70 kN·m, M_F = −35, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −70 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 15,35 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 19000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 19000·1000²·4000²/(3·1,32 × 10¹²·5000) = 15,35 mm

Cevap

δ_P = 15,35 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 45 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·8/8 = 45 kN

Cevap

R_B = 45 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 12,85 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/4000² = 12851 N = 12,85 kN

Cevap

P_cr = 12,85 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 65,06 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 65,06 mm

Cevap

d = 65,06 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 92,23, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·150 − 2827·90)/(30000 − 2827) = 156,2 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·300³/12 + 30000·−6,243² = 226,2 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·−66,24² = 13,04 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 8,718 kN·m

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi

ȳ = (2100·167,5 + 2240·80)/4340 = 122,3 mm

üst kenar: c = 175 − 122,3 = 52,66 mm

Alan atalet momenti

I = 140·15³/12 + 2100·45,16² + 14·160³/12 + 2240·42,34² = 1,312 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Negatif moment: üst çekmede, alt basınçtadır.

üst kenar: M = 35·1,312 × 10⁷/52,66 = 8,718 kN·m

alt kenar: M = 120·1,312 × 10⁷/122,3 = 12,87 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 8,718 kN·m (üst kenar)

Cevap

M_allow = 8,718 kN·m

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: u = 39,24 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Cevap

u = 39,24 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 81,67 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·5 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16,5·1 + 18,5·5 + 18,5·2,5 = 155,3 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7,5 = 73,58 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 155,3 − 73,58 = 81,67 kPa

Cevap

σ′ = 81,67 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 147,5 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncı

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·95 = 142,5 kPa

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 95 + 180 = 275 kPa > 142,5 kPa

Oturma

σ′_p’ye kadar yeniden sıkışma, ötesinde bakir sıkışma.

S = 0,03·3/(1 + 0,85)·log₁₀(142,5/95) + 0,3·3/(1 + 0,85)·log₁₀(275/142,5)

S = 8,567 + 138,9 = 147,5 mm

Cevap

S = 147,5 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 4,147 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H = 8,5 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·8,5²/5 = 4,147 yıl

Cevap

t = 4,147 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 73,58 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Cevap

F = 73,58 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: y_cp = 2,533 m

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·1 = 25,14 kN

Basınç merkezi

Basınç derinlikle arttığından bileşke ağırlık merkezinin altında etkir.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,08333/(2,5·1) = 2,533 m

Cevap

y_cp = 2,533 m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 4,896 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Ortalama hız

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,15)·2,829²/(2·9,81) = 4,896 m

Cevap

h_f = 4,896 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Q = 135,8 L/s

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,02·100/0,2 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Enerji denklemi

İki yüzey de havaya açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden Δz’nin tamamı boruda kaybolur.

12 = (10 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·12/12,6) = 4,323 m/s

Debi

Q = V·π·D²/4 = 4,323·0,03142 = 0,1358 m³/s = 135,8 L/s

Cevap

Q = 135,8 L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 4,567 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = b·y = 2·1,1 = 2,2 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1,1 = 4,2 m

R = A/P = 0,5238 m

Hız

V = (1/0,014)·0,5238^2/3·0,002^1/2 = 2,076 m/s

Debi

Q = A·V = 2,2·2,076 = 4,567 m³/s

Cevap

Q = 4,567 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,00212 m/m

Hidrolik yarıçap

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Manning’i S için çözün

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,2823)² = 0,00212

Cevap

S = 0,00212

Bu, kilometrede 2,12 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: η = 72,02 %

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·58 = 11,38 kW

Verim

η = P_h/P_shaft = 11,38/15,8 = 72,02%

Cevap

η = 72,02%

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: H = 76,08 m

Hız

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (62,5 + 8)·0,3305 = 23,3 m

Basınç yüksekliği

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Pompa basma yüksekliği

İki yüzey de pratikte durgundur, bu yüzden hız yüksekliği terimi yoktur.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 12 + 40,77 + 23,3 = 76,08 m

Cevap

H = 76,08 m

25.Paranın zaman değeri

Cevap: PV = 133333 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Büyüyen perpetüite

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,075 − 0,015) = 8 000/0,06 = €133 333,33

Cevap

PV = €133 333,33

26.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 30707 €

Aylık oran ve yatırım sayısı

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·8 = 96

Yatırımların gelecek değeri

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,614 − 1)/0,005 = €30 707,14

Cevap

FV = €30 707,14

Kendiniz €24 000 yatırdınız; geri kalanı faizdir.

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = −15259 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Her nakit akışının bugünkü değeri

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 15 000/1,08 = 13 888,89

CF₂/(1 + 0,08)² = 22 000/1,166 = 18 861,45

CF₃/(1 + 0,08)³ = 34 000/1,26 = 26 990,30

Toplayın

NPV = €−15 259,36

Cevap

NPV = €−15 259,36

NBD negatif, yani proje gerekli getiriden azını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: NPV = −9897 €

Büyüyen anüitenin bugünkü değeri

((1,05)/(1,12))⁷ = 0,6365

PV = 13 500/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,6365) = 70 103,42

NPV

NPV = 70 103,42 − 80 000 = −€9 896,58

Cevap

NPV = −€9 896,58

NBD negatif, yani proje gerekli getiriden azını kazandırır.

29.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9772

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

Standartlaştırın

z = (837 − 765)/36 = 2

Olasılık

P = Φ(2) = 0,9772

Cevap

P = 0,9772

30.Normal dağılım

Cevap: x = 80,78 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

x’e geri dönüş

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 puan

Cevap

x = 80,78 puan

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil