FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 5 mP₁ = 45 kN @ 1 mP₂ = 40 kN @ 3 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 8 mP = 45 kN @ 4 mw = 6 kN/m, 5 ile 7 m arasında

R_A = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 10 kN

F_BC = kN

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 35 kNyatay yük = 5 kN →

F_BC = kN

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 12 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 10 mP = 50 kN @ 9 mw = 4 kN/m, 0 ile 10 m arasında

M_max = kN·m

7.Kiriş sehimiOrta

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δ_B değerini bulun.

P = 17 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Kiriş sehimiZor

75 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 2,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 75 mm

h_req = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 170 mm ve iç çapı d = 162 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 170 mmd = 162 mm

r = mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 20 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_alt = MPa

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15,5 kN/m³kum: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki boşluk suyu basıncı u değerini bulun.

z = 10 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15 kN/m³kum: γ_sat = 18,5 kN/m³kil: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

7 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,25, C_r = 0,05 ve e₀ = 0,8. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 85 kPa ve aşırı konsolidasyon oranı OCR = 3. Yeni bir bina orta derinlikte 100 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 7 mC_c = 0,25C_r = 0,05e₀ = 0,8σ′₀ = 85 kPaOCR = 3Δσ = 100 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

7 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 4 m²/yıl. Üstünde kum bulunan geçirimsiz kaya üzerinde durur, bu yüzden su yalnızca üstten drene olur. %70 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,403. Tabakanın %70 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 7 mc_v = 4 m²/yılU = 70%T_v = 0,403tek yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

3 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 4 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, deniz suyu dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 0,5 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 800 m uzunluğunda ve iç çapı 200 mm olan bir borudan 2,1 m/s ortalama hızla akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,018 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

V = 2,1 m/sL = 800 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

İki açık hazne, 200 m uzunluğunda, iç çapı 100 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 3 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 10) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Hazneler arasındaki hangi su seviyesi farkı Δz, 10 L/s debi verir?

Q = 10 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Yamuk kesitli bir tuğla kaplama kanalın taban genişliği 2,5 m ve şev eğimleri 1,5:1 (yatay:düşey). Su 2,5 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,015 ve taban eğimi S = 0,0005. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 2,5 my = 2,5 mz = 1,5n = 0,015S = 0,0005

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

Taban genişliği 3 m ve şev eğimleri 3:1 (yatay:düşey) olan yamuk kesitli bir çakıl kanal 1,7 m derinlikte üniform akışla 30 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,025. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 30 m³/sb = 3 my = 1,7 mz = 3n = 0,025

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Bir pompa 74 m basma yüksekliğine karşı 30 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. Pompa verimi %72, onu çalıştıran elektrik motorunun verimi %95. g = 9,81 m/s² kullanın. Motorun çektiği elektrik gücü P_el değerini kW cinsinden bulun.

Q = 30 L/sH = 74 mη_pump = 72%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 120 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 7 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 300 m uzunluğunda, iç çapı 250 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 4 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Üst tank kapalıdır ve suyun üzerindeki hava 350 kPa etkin basınçtadır. Pompanın eklemesi gereken basma yüksekliği H değerini bulun.

Q = 120 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 4p_tank = 350 kPa

H = m

25.Paranın zaman değeriOrta

€3 000 tutarını, aylık bileşik, yıllık %4 nominal faizle yatırıyorsunuz. 5 yıl sonra yatırımın değeri FV'yi bulun.

PV = €3 0004% / 12n = 5

FV = €

26.Paranın zaman değeriZor

Aylık bileşik yıllık %2,4 faizle €20 000 borç alıyorsunuz ve her ayın sonunda €375 geri ödüyorsunuz. Kredi kaç ayda geri ödenir (son ödeme daha küçük olabilir)? Ödeme sayısı N değerini verin.

P = €20 000A = €3752,4% / 12

N = ödeme

27.NBD ve IRROrta

Bir proje bugün €200 000 maliyetindedir. Birinci yılın sonunda €14 000 sağlar ve nakit akışı sonra sonsuza kadar yıllık %3 büyür. Sermaye maliyeti %12. Net bugünkü değer NPV değerini bulun.

C₀ = €200 000CF₁ = €14 000g = 3%r = 12%

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €50 000 tutarındadır ve 1'den 3'ye kadar yılların sonunda €37 500, €32 500, €31 000 getirir. İç verim oranı IRR'ü yüzde olarak bulun.

CF₀ = −50 000CF₁ = 37 500CF₂ = 32 500CF₃ = 31 000

IRR = %

29.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,8385 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,8385

z =

30.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,04 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 52 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1 + 40·3

R_B = 165/5 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 33 = 52 kN

Cevap

R_A = 52 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 25,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, x̄ = 6 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·4 + 6·2·6

R_B = 252/8 = 31,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 31,5 = 25,5 kN

Cevap

R_A = 25,5 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = −10,1 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·3 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 3,75 = 6,25 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,75/0,3714 = −10,1 kN

Cevap

F_BC = −10,1 kN (basınç)

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = −31,62 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 + 5·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 30 = 5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,9487 = −31,62 kN

Cevap

F_BC = −31,62 kN (basınç)

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 10,5 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

x = 0,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 24·0,5 − 12·0,5·0,25 = 10,5 kN·m

Cevap

M_x = 10,5 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 78,13 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·9 + 4·10·5

R_B = 650/10 = 65 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 65 = 25 kN

V = 0 nerede?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 25/4 = 6,25 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 25·6,25 − 4·6,25²/2 = 78,13 kN·m

Cevap

M_max = 78,13 kN·m

A’dan x = 6,25 m uzaklıkta oluşur.

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_B = 21,92 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 17000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δ_P = Pa³/(3EI) = 6,746 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01012 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 21,92 mm

Cevap

δ_B = 21,92 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 147,3 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3000⁴/(384·11000·12) = 1,998 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·1,998 × 10⁷/75)^1/3 = 147,3 mm

Cevap

h_req = 147,3 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 3,504 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2800² = 3504 N = 3,504 kN

Cevap

P_cr = 3,504 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 8,567 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Cevap

σ_cr = 8,567 MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 58,71 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 2086 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,189 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(7,189 × 10⁶/2086) = 58,71 mm

Cevap

r = 58,71 mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 345,2 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

gövde: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·152,5 + 1120·70)/4120 = 130,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·25³/12 + 3000·(152,5 − 130,1)² = 1,665 × 10⁶ mm⁴

gövde: 8·140³/12 + 1120·(70 − 130,1)² = 5,871 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,665 × 10⁶ + 5,871 × 10⁶ = 7,536 × 10⁶ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 130,1 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·130,1/7,536 × 10⁶ = 345,2 MPa

Cevap

σ_alt = 345,2 MPa

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 157 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·4 + 19·5 = 157 kPa

Cevap

σ = 157 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: u = 49,05 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Cevap

u = 49,05 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 65,67 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncı

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·85 = 255 kPa

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 85 + 100 = 185 kPa ≤ 255 kPa

Oturma

Kil yeniden sıkışma doğrusu üzerinde kalır.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·7/(1 + 0,8)·log₁₀(185/85) = 65,67 mm

Cevap

S = 65,67 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 4,937 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H = 7 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·7²/4 = 4,937 yıl

Cevap

t = 4,937 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 132,4 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Cevap

F = 132,4 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 60,33 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·3 = 60,33 kN

Cevap

F = 60,33 kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 16,18 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 2,1²/(2·9,81) = 0,2248 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,2)·2,1²/(2·9,81) = 16,18 m

Cevap

h_f = 16,18 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Δz = 3,503 m

Hız

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,015·200/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Toplam yük kaybı

h_f = 30·0,08263 = 2,479 m

h_m = 12,4·0,08263 = 1,025 m

Δz = h_f + h_m = 3,503 m

Cevap

Δz = 3,503 m

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 28,55 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·2,5)·2,5 = 15,63 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,5·√(1 + 1,5²) = 11,51 m

R = A/P = 1,357 m

Hız

V = (1/0,015)·1,357^2/3·0,0005^1/2 = 1,827 m/s

Debi

Q = A·V = 15,63·1,827 = 28,55 m³/s

Cevap

Q = 28,55 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,002961 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1,7)·1,7 = 13,77 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,7·√(1 + 3²) = 13,75 m

R = A/P = 1,001 m

Manning’i S için çözün

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·30/(13,77·1,001) = 0,05442

S = 0,05442² = 0,002961

Cevap

S = 0,002961

Bu, kilometrede 2,961 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_el = 31,84 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·74 = 21,78 kW

Mil gücü

P_shaft = 21,78/0,72 = 30,25 kW

Elektrik gücü

P_el = 30,25/0,95 = 31,84 kW

Cevap

P_el = 31,84 kW

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: H = 49,38 m

Hız

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 4)·0,3046 = 6,701 m

Basınç yüksekliği

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Pompa basma yüksekliği

İki yüzey de pratikte durgundur, bu yüzden hız yüksekliği terimi yoktur.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 35,68 + 6,701 = 49,38 m

Cevap

H = 49,38 m

25.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 3663 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Oran ve dönem sayısı

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·5 = 60

Gelecek değer

FV = 3 000·(1 + 0,003333)⁶⁰ = 3 000·1,221 = €3 662,99

Cevap

FV = €3 662,99

26.Paranın zaman değeri

Cevap: N = 57 ödeme

Anüite formülünü düzenleyin

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0,002/375 = 0,8933

Logaritmayla çözün

N = −ln(0,8933)/ln(1,002) = 56,45

Tam ödemeye yukarı yuvarlayın

56 tam ödeme küçük bir bakiye bırakır; bunu son, daha küçük ödeme kapatır.

N = 57

Cevap

N = 57 ödeme

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = −44444 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Nakit akışlarının değeri

PV = 14 000/(0,12 − 0,03) = 155 555,56

NPV

NPV = 155 555,56 − 200 000 = −€44 444,44

Cevap

NPV = −€44 444,44

NBD negatif, yani proje gerekli getiriden azını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 47,54 %

IRR'yi iki taraftan sınırlayın

Oran arttıkça NBD azalır; bu yüzden IRR, pozitif NBD veren oran ile negatif NBD veren oran arasındadır.

NPV(45%) = 1 488,38

NPV(50%) = −1 370,37

Daraltın

Doğrusal enterpolasyon ilk tahmini verir; tekrarlamak (ya da hesap makinesinin IRR işlevi) kesin oranı verir.

IRR ≈ 45 + 5·1 488,38/(1 488,38 − (−1 370,37)) = 47,6%

kesin: NPV(47,54%) = 0 → IRR = 47,54%

Cevap

IRR = 47,54%

29.Normal dağılım

Cevap: z = 1,4

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,8385)/2 = 0,9192

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9192 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,40

Cevap

z = 1,40

30.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9633

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Cevap

P = 0,9633

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil