FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 8 mP₁ = 45 kN @ 1 mP₂ = 20 kN @ 3 m

R_B = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 5 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. A’dan 3 m uzaklıkta P tekil yükünü ve 3 m konumundan 8 m konumundaki serbest uca kadar düzgün yayılı w yükünü taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_B değerini bulun.

AB = 5 mAC = 8 mP = 35 kN @ 3 mw = 5 kN/m, 3 ile 8 m arasında

R_B = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 4 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 35 kN

F_BC = kN

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 4 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 50 kNyatay yük = 5 kN →

F_AB = kN

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 3 m uzaklıkta saat yönünde M₀ = 50 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen sağındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mM₀ = 50 kN·m saat yönünde, konumu 3 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mP = 25 kN @ 2 mw = 5 kN/m, 0 ile 5 m arasında

M_max = kN·m

7.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Kiriş sehimiZor

75 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/300 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 75 mm

h_req = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Simetrik bir I kesitin başlıkları 130 mm genişliğinde ve 16 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 220 mm ve gövdesi 8 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre atalet momenti I_x değerini bulun.

B = 130 mmH = 220 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

120 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, 60 mm genişliğinde ve 20 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 96 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 240 mmkesik: 60 × 20 mmdelik merkezi: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 4 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15 kN/m³kum: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 17 kN/m³kum: γ_sat = 19,5 kN/m³kil: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

7,5 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,3, C_r = 0,03 ve e₀ = 0,75. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 55 kPa ve ön konsolidasyon basıncı 165 kPa’dır. Yeni bir bina orta derinlikte 100 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 7,5 mC_c = 0,3C_r = 0,03e₀ = 0,75σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 165 kPaΔσ = 100 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

8,5 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 5 m²/yıl. İki kum tabakası arasında bulunur, bu yüzden su üstten ve alttan drene olur. %80 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,567. Tabakanın %80 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 8,5 mc_v = 5 m²/yılU = 80%T_v = 0,567çift yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

1 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 0,5 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1,5 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, gliserin dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 3 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su (ρ = 1000 kg/m³), 500 m uzunluğunda ve iç çapı 100 mm olan yatay bir borudan 3 m/s hızla akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Boru boyunca basınç düşüşü Δp değerini kPa cinsinden bulun.

V = 3 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

İki açık hazne, 150 m uzunluğunda, iç çapı 250 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,02 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Üst haznenin su yüzeyi alttakinden 17 m yüksektedir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 2 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 5) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Debi Q değerini L/s cinsinden bulun.

Δz = 17 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Dikdörtgen kesitli bir tuğla kaplama kanal 2 m genişliğinde. Su 2 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,015 ve taban eğimi S = 0,003. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 2 my = 2 mn = 0,015S = 0,003

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

Taban genişliği 1,5 m ve şev eğimleri 1:1 (yatay:düşey) olan yamuk kesitli bir çakıl kanal 0,7 m derinlikte üniform akışla 1 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,025. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 1 m³/sb = 1,5 my = 0,7 mz = 1n = 0,025

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Bir pompa 18 m basma yüksekliğine karşı 30 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. Pompa verimi %60, onu çalıştıran elektrik motorunun verimi %95. g = 9,81 m/s² kullanın. Motorun çektiği elektrik gücü P_el değerini kW cinsinden bulun.

Q = 30 L/sH = 18 mη_pump = 60%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 40 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 9 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 150 m uzunluğunda, iç çapı 150 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,02; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 5 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompanın eklemesi gereken basma yüksekliği H değerini bulun.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 5

H = m

25.Paranın zaman değeriOrta

5 yıl sonra €10 000 gerekiyor. Hesap aylık bileşik, yıllık %3,6 faiz ödüyor. Bugün ne kadar yatırmalısınız? Bugünkü değer PV'ü bulun.

FV = €10 0003,6% / 12n = 5

PV = €

26.Paranın zaman değeriZor

26 yıl boyunca her yılın başında €1 000 yatırıyorsunuz, ilk yatırım bugün. Hesap yıllık %8 faiz veriyor. 26. yılın sonunda hesapta ne kadar vardır? FV değerini bulun.

A = €1 000i = 8%n = 26

FV = €

27.NBD ve IRROrta

Bir proje bugün €60 000 maliyetindedir ve 6 yıl boyunca her yılın sonunda €17 000 getirir. Sermaye maliyeti %6. Nakit akışlarının her yıl boyunca eşit geldiğini varsayın. İskontolu geri ödeme süresi DPB değerini yıl cinsinden bulun.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 17 000CF₂ = 17 000CF₃ = 17 000CF₄ = 17 000CF₅ = 17 000CF₆ = 17 000

DPB = yıl

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €10 000 tutarındadır ve 1'den 2'ye kadar yılların sonunda €6 500, €5 500 getirir. İç verim oranı IRR'ü yüzde olarak bulun.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 5 500

IRR = %

29.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9634 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9634

z =

30.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %30 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 100 puanσ = 15 puan30%

x = puan

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 13,13 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·1 + 20·3

R_B = 105/8 = 13,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 13,13 = 51,88 kN

Cevap

R_B = 13,13 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 48,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 5·5 = 25 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5,5 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3 + 25·5,5

R_B = 242,5/5 = 48,5 kN

R_A = 60 − 48,5 = 11,5 kN

Cevap

R_B = 48,5 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = −27,06 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26,25 = 8,75 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,25/0,9701 = −27,06 kN

Cevap

F_BC = −27,06 kN (basınç)

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −33,54 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·2 + 5·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 20 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30/0,8944 = −33,54 kN

Cevap

F_AB = −33,54 kN (basınç)

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 35 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: R_B·L − M₀ = 0. Düşey denge: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/10 = 5 kN (yukarı)

R_A = −R_B = −5 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen sağından kesin

Sol parça artık R_A’yı ve kuvvet çiftini içerir.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·3 + 50 = 35 kN·m

Cevap

M_x = 35 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 45 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2 + 5·5·2,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 22,5 = 27,5 kN

V = 0 nerede?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 17,5 kN

V(2⁺) = 17,5 − 25 = −7,5 kN

Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 27,5·2 − 5·2²/2 = 45 kN·m

Cevap

M_max = 45 kN·m

A’dan x = 2 m uzaklıkta oluşur.

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 4,762 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 4,762 mm

Cevap

δ = 4,762 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 145,3 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·10) = 1,918 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·1,918 × 10⁷/75)^1/3 = 145,3 mm

Cevap

h_req = 145,3 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 269,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

Cevap

P_cr = 269,2 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 8,812 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7,5 = 280

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Cevap

σ_cr = 8,812 MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 47,8 × 10⁶ mm⁴

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 220 − 2·16 = 188 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·220³ − 122·188³)/12

I_x = 4,78 × 10⁷ mm⁴ = 47,8 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 47,8 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 137,5 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (28800·120 − 1200·96)/(28800 − 1200) = 121 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·240³/12 + 28800·−1,043² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

60·20³/12 + 1200·−25,04² = 0,7926 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 137,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 137,5 × 10⁶ mm⁴

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 70 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·2 + 20·2 = 70 kPa

Cevap

σ = 70 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 142,5 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 17·3 + 19,5·1 + 18·4 = 142,5 kPa

Cevap

σ = 142,5 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 57,85 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 55 + 100 = 155 kPa ≤ 165 kPa

Oturma

Kil yeniden sıkışma doğrusu üzerinde kalır.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·7,5/(1 + 0,75)·log₁₀(155/55) = 57,85 mm

Cevap

S = 57,85 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 2,048 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H/2 = 8,5/2 = 4,25 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·4,25²/5 = 2,048 yıl

Cevap

t = 2,048 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 29,43 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·2 = 29,43 kN

Cevap

F = 29,43 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 148,3 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·3 = 148,3 kN

Cevap

F = 148,3 kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Δp = 337,5 kPa

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Yük kaybı

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,1)·3²/(2·9,81) = 34,4 m

Basınç düşüşü

Boru yataydır ve hız değişmez, bu yüzden enerji denklemi Δp = ρ·g·h_f’ye indirgenir.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·34,4 = 337500 Pa = 337,5 kPa

Cevap

Δp = 337,5 kPa

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Q = 205,1 L/s

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,02·150/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Enerji denklemi

İki yüzey de havaya açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden Δz’nin tamamı boruda kaybolur.

17 = (12 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·17/19,1) = 4,179 m/s

Debi

Q = V·π·D²/4 = 4,179·0,04909 = 0,2051 m³/s = 205,1 L/s

Cevap

Q = 205,1 L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 11,15 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = b·y = 2·2 = 4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2 = 6 m

R = A/P = 0,6667 m

Hız

V = (1/0,015)·0,6667^2/3·0,003^1/2 = 2,787 m/s

Debi

Q = A·V = 4·2,787 = 11,15 m³/s

Cevap

Q = 11,15 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,0007814 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1·0,7)·0,7 = 1,54 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·0,7·√(1 + 1²) = 3,48 m

R = A/P = 0,4425 m

Manning’i S için çözün

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·1/(1,54·0,5807) = 0,02795

S = 0,02795² = 0,0007814

Cevap

S = 0,0007814

Bu, kilometrede 0,7814 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_el = 9,294 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·18 = 5,297 kW

Mil gücü

P_shaft = 5,297/0,6 = 8,829 kW

Elektrik gücü

P_el = 8,829/0,95 = 9,294 kW

Cevap

P_el = 9,294 kW

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: H = 15,53 m

Hız

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0,2611 = 6,529 m

Pompa basma yüksekliği

İki yüzey de açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden basınç ve hız terimleri düşer.

H = Δz + h_L = 9 + 6,529 = 15,53 m

Cevap

H = 15,53 m

25.Paranın zaman değeri

Cevap: PV = 8355 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Oran ve dönem sayısı

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·5 = 60

Bugünkü değer

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,197 = €8 354,95

Cevap

PV = €8 354,95

26.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 86351 €

Normal anüite faktörü

((1 + 0,08)²⁶ − 1)/0,08 = 79,95

Peşin anüite

Her yatırım bir yıl daha uzun süre yatırımda kalır.

FV = 1 000·79,95·1,08 = €86 350,77

Cevap

FV = €86 350,77

27.NBD ve IRR

Cevap: DPB = 4,086 yıl

Geri ödeme süresi: birikimli nakit akışlarının ilk yatırımı karşılamasına kadar geçen süre. Nakdin her yıl boyunca eşit geldiği varsayılır, bu yüzden son kısım bir yılın kesridir. Basit geri ödeme süresi paranın zaman değerini göz ardı eder; iskontolu geri ödeme süresi ise iskonto edilmiş nakit akışlarını kullanır.

İskonto edilmiş ve birikimli nakit akışları

yıl 1: 17 000/1,06 = 16 037,74 → Σ = 16 037,74

yıl 2: 17 000/1,124 = 15 129,94 → Σ = 31 167,68

yıl 3: 17 000/1,191 = 14 273,53 → Σ = 45 441,20

yıl 4: 17 000/1,262 = 13 465,59 → Σ = 58 906,80

yıl 5: 17 000/1,338 = 12 703,39 → Σ = 71 610,18

Son yılın kesri

DPB = 4 + 1 093,20/12 703,39 = 4,086

Cevap

DPB = 4,086 yıl

İskontolu geri ödeme süresi her zaman basit geri ödeme süresinden (3,529 yıl) uzundur.

28.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 13,47 %

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

IRR'yi iki taraftan sınırlayın

Oran arttıkça NBD azalır; bu yüzden IRR, pozitif NBD veren oran ile negatif NBD veren oran arasındadır.

NPV(10%) = 454,55

NPV(15%) = −189,04

Daraltın

Doğrusal enterpolasyon ilk tahmini verir; tekrarlamak (ya da hesap makinesinin IRR işlevi) kesin oranı verir.

IRR ≈ 10 + 5·454,55/(454,55 − (−189,04)) = 13,53%

kesin: NPV(13,47%) = 0 → IRR = 13,47%

Cevap

IRR = 13,47%

29.Normal dağılım

Cevap: z = 2,09

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9634)/2 = 0,9817

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9817 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,09

Cevap

z = 2,09

30.Normal dağılım

Cevap: x = 92,2 puan

Soldaki alan

Φ(z) = 0,3

Tablodan z

z ≈ −0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 puan

Cevap

x = 92,2 puan

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil