FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 4 mP₁ = 40 kN @ 2 mP₂ = 10 kN @ 2,5 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 8 mP = 45 kN @ 6 mw = 6 kN/m, 0 ile 5 m arasında

R_B = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

F: 30 kN ↓H: 20 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 25 kN ↓F: 25 kN ↓G: 30 kN ↓H: 10 kN ←

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12FC elemanı
13HC elemanı

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP₁ = 35 kN @ 5 mP₂ = 45 kN @ 10 mmesnetler x = 0 ve x = 8 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 12 m20 kN @ 6 m8 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 25 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alüminyum)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Simetrik bir I kesitin başlıkları 130 mm genişliğinde ve 18 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 440 mm ve gövdesi 6 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre atalet momenti I_x değerini bulun.

B = 130 mmH = 440 mmt_f = 18 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 30 MPa, basınçta 100 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti M_allow değerini bulun.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki boşluk suyu basıncı u değerini bulun.

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15,5 kN/m³kum: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 10 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 16,5 kN/m³kum: γ_sat = 19,5 kN/m³kil: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

5 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,3, C_r = 0,02 ve e₀ = 1,05. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 55 kPa ve aşırı konsolidasyon oranı OCR = 2,5. Yeni bir bina orta derinlikte 120 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 5 mC_c = 0,3C_r = 0,02e₀ = 1,05σ′₀ = 55 kPaOCR = 2,5Δσ = 120 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

3,5 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 3 m²/yıl. Üstünde kum bulunan geçirimsiz kaya üzerinde durur, bu yüzden su yalnızca üstten drene olur. %60 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,287. Tabakanın %60 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 3,5 mc_v = 3 m²/yılU = 60%T_v = 0,287tek yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

3 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 1,5 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1,5 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, deniz suyu dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 1,5 m altında bulunuyor. Basınç merkezinin yüzeyden derinliği y_cp değerini bulun.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 1000 m uzunluğunda ve iç çapı 300 mm olan bir borudan 60 L/s debiyle akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,028 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

Q = 60 L/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

İki açık hazne, 100 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,02 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Üst haznenin su yüzeyi alttakinden 9 m yüksektedir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 2 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 10) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Debi Q değerini L/s cinsinden bulun.

Δz = 9 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Dikdörtgen kesitli bir çim kaplı toprak kanal 4,5 m genişliğinde. Su 2,3 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,03 ve taban eğimi S = 0,002. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 4,5 my = 2,3 mn = 0,03S = 0,002

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

Taban genişliği 5 m ve şev eğimleri 3:1 (yatay:düşey) olan yamuk kesitli bir çim kaplı toprak kanal 1,4 m derinlikte üniform akışla 26 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,03. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 26 m³/sb = 5 my = 1,4 mz = 3n = 0,03

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Bir pompa 56 m basma yüksekliğine karşı 40 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. Pompa verimi %85, onu çalıştıran elektrik motorunun verimi %95. g = 9,81 m/s² kullanın. Motorun çektiği elektrik gücü P_el değerini kW cinsinden bulun.

Q = 40 L/sH = 56 mη_pump = 85%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 75 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 17 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 100 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,025; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 6 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Üst tank kapalıdır ve suyun üzerindeki hava 300 kPa etkin basınçtadır. Pompanın eklemesi gereken basma yüksekliği H değerini bulun.

Q = 75 L/sΔz = 17 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6p_tank = 300 kPa

H = m

25.Paranın zaman değeriOrta

Bir anüite 16 yıl boyunca her yılın sonunda €3 000 ödüyor. Faiz oranı yıllık %5. Anüitenin bugünkü değeri PV değerini bulun.

A = €3 000i = 5%n = 16

PV = €

26.Paranın zaman değeriZor

27 yıl boyunca her yılın başında €6 000 yatırıyorsunuz, ilk yatırım bugün. Hesap yıllık %4 faiz veriyor. 27. yılın sonunda hesapta ne kadar vardır? FV değerini bulun.

A = €6 000i = 4%n = 27

FV = €

27.NBD ve IRROrta

€75 000 tutarındaki bir yatırım 1'den 3'e kadar yılların sonunda şu nakit akışlarını sağlar: €33 000, €22 000, €17 000. Sermaye maliyeti %12'tür. Net bugünkü değer NPV'ü bulun.

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 33 000CF₂ = 22 000CF₃ = 17 000

NPV = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €10 000 tutarındadır ve 1'den 3'ye kadar yılların sonunda €6 000, €4 500, €6 500 getirir. İç verim oranı IRR'ü yüzde olarak bulun.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 4 500CF₃ = 6 500

IRR = %

29.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 30,2 ile 39,2 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,2x₂ = 39,2

P =

30.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %70 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 500 hσ = 40 h70%

x = h

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 23,75 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2 + 10·2,5

R_B = 105/4 = 26,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 26,25 = 23,75 kN

Cevap

R_A = 23,75 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 43,13 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·6 + 6·5·2,5

R_B = 345/8 = 43,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 43,13 = 31,88 kN

Cevap

R_B = 43,13 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 20,63 kN (T), BC: 18,75 kN (T), CD: 18,75 kN (T), DE: 16,87 kN (T), FG: 20,63 kN (C), GH: 16,87 kN (C), AF: 34,38 kN (C), HE: 28,12 kN (C), BF: 2,5 kN (C), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 3,125 kN (T), DG: 3,125 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 31,87 kN (T), BC: 31,87 kN (T), CD: 18,12 kN (T), DE: 18,12 kN (T), FG: 46,25 kN (C), GH: 46,25 kN (C), AF: 69,79 kN (C), HE: 30,21 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 7,292 kN (T), HC: 30,21 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 9,375 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·5 + 45·10

R_B = 625/8 = 78,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 78,13 = 1,875 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·5 = 1,875·5 = 9,375 kN·m

Cevap

M_x = 9,375 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 12 kN, R₂ = 122 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 8, M_C = −16, M_D = −72, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −200 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 59,42 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 25000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 25000·2500³/(3·2,52 × 10¹²) = 51,67 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 7,75 mm

Toplayın

δ = 51,67 + 7,75 = 59,42 mm

Cevap

δ = 59,42 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·70000·22,22) = 5,143 × 10⁸ mm⁴

I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 263,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2000² = 263189 N = 263,2 kN

Cevap

P_cr = 263,2 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 69,09 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Cevap

σ_cr = 69,09 MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 241,5 × 10⁶ mm⁴

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 440 − 2·18 = 404 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·440³ − 124·404³)/12

I_x = 2,415 × 10⁸ mm⁴ = 241,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 241,5 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 7,144 kN·m

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi

ȳ = (1600·265 + 3640·130)/5240 = 171,2 mm

üst kenar: c = 270 − 171,2 = 98,78 mm

Alan atalet momenti

I = 160·10³/12 + 1600·93,78² + 14·260³/12 + 3640·41,22² = 4,077 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 100·4,077 × 10⁷/98,78 = 41,28 kN·m

alt kenar: M = 30·4,077 × 10⁷/171,2 = 7,144 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 7,144 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 7,144 kN·m

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: u = 9,81 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Cevap

u = 9,81 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 108,5 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·4

σ = 16,5·2 + 19,5·4 + 19·4 = 187 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8 = 78,48 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 187 − 78,48 = 108,5 kPa

Cevap

σ′ = 108,5 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 96,05 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncı

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·55 = 137,5 kPa

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 55 + 120 = 175 kPa > 137,5 kPa

Oturma

σ′_p’ye kadar yeniden sıkışma, ötesinde bakir sıkışma.

S = 0,02·5/(1 + 1,05)·log₁₀(137,5/55) + 0,3·5/(1 + 1,05)·log₁₀(175/137,5)

S = 19,41 + 76,64 = 96,05 mm

Cevap

S = 96,05 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 1,172 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H = 3,5 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·3,5²/3 = 1,172 yıl

Cevap

t = 1,172 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 58,86 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Cevap

F = 58,86 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: y_cp = 3,25 m

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3·4,5 = 135,7 kN

Basınç merkezi

Basınç derinlikle arttığından bileşke ağırlık merkezinin altında etkir.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 3,375/(3·4,5) = 3,25 m

Cevap

y_cp = 3,25 m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 3,427 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Ortalama hız

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,06/0,07069 = 0,8488 m/s

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,3)·0,8488²/(2·9,81) = 3,427 m

Cevap

h_f = 3,427 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Q = 88,8 L/s

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,02·100/0,2 = 10

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Enerji denklemi

İki yüzey de havaya açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden Δz’nin tamamı boruda kaybolur.

9 = (10 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·9/22,1) = 2,827 m/s

Debi

Q = V·π·D²/4 = 2,827·0,03142 = 0,0888 m³/s = 88,8 L/s

Cevap

Q = 88,8 L/s

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 16,81 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = b·y = 4,5·2,3 = 10,35 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·2,3 = 9,1 m

R = A/P = 1,137 m

Hız

V = (1/0,03)·1,137^2/3·0,002^1/2 = 1,624 m/s

Debi

Q = A·V = 10,35·1,624 = 16,81 m³/s

Cevap

Q = 16,81 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,004042 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1,4)·1,4 = 12,88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,4·√(1 + 3²) = 13,85 m

R = A/P = 0,9297 m

Manning’i S için çözün

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·26/(12,88·0,9525) = 0,06358

S = 0,06358² = 0,004042

Cevap

S = 0,004042

Bu, kilometrede 4,042 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_el = 27,21 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·56 = 21,97 kW

Mil gücü

P_shaft = 21,97/0,85 = 25,85 kW

Elektrik gücü

P_el = 25,85/0,95 = 27,21 kW

Cevap

P_el = 27,21 kW

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: H = 52,96 m

Hız

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12,5 + 6)·0,2905 = 5,374 m

Basınç yüksekliği

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Pompa basma yüksekliği

İki yüzey de pratikte durgundur, bu yüzden hız yüksekliği terimi yoktur.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 17 + 30,58 + 5,374 = 52,96 m

Cevap

H = 52,96 m

25.Paranın zaman değeri

Cevap: PV = 32513 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Anüite faktörü

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,4581)/0,05 = 10,84

Bugünkü değer

PV = 3 000·10,84 = €32 513,31

Cevap

PV = €32 513,31

26.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 293805 €

Normal anüite faktörü

((1 + 0,04)²⁷ − 1)/0,04 = 47,08

Peşin anüite

Her yatırım bir yıl daha uzun süre yatırımda kalır.

FV = 6 000·47,08·1,04 = €293 805,50

Cevap

FV = €293 805,50

27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = −15897 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Her nakit akışının bugünkü değeri

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 33 000/1,12 = 29 464,29

CF₂/(1 + 0,12)² = 22 000/1,254 = 17 538,27

CF₃/(1 + 0,12)³ = 17 000/1,405 = 12 100,26

Toplayın

NPV = €−15 897,18

Cevap

NPV = €−15 897,18

NBD negatif, yani proje gerekli getiriden azını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 31,67 %

IRR'yi iki taraftan sınırlayın

Oran arttıkça NBD azalır; bu yüzden IRR, pozitif NBD veren oran ile negatif NBD veren oran arasındadır.

NPV(30%) = 236,69

NPV(35%) = −444,55

Daraltın

Doğrusal enterpolasyon ilk tahmini verir; tekrarlamak (ya da hesap makinesinin IRR işlevi) kesin oranı verir.

IRR ≈ 30 + 5·236,69/(236,69 − (−444,55)) = 31,74%

kesin: NPV(31,67%) = 0 → IRR = 31,67%

Cevap

IRR = 31,67%

29.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5028

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3

z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2

Aradaki alan

P = Φ(1,2) − Φ(−0,3) = 0,8849 − 0,3821 = 0,5028

Cevap

P = 0,5028

30.Normal dağılım

Cevap: x = 479 h

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,3

Tablodan z

z ≈ −0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Cevap

x = 479 h

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Yöntem

Kafes: düğüm yöntemi

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Zeminde efektif gerilme

Konsolidasyon oturması

Hidrostatik kuvvet

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Açık kanal akışı (Manning)

Pompalar ve pompa gücü

Paranın zaman değeri

Yöntem

NBD ve IRR

Yöntem

Normal dağılım

Yöntem

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Serbest cisim diyagramı

Denge

Cevap

Serbest cisim diyagramı

Denge

Cevap

C düğüm noktası

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Cevap

D düğüm noktası

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

Her işaretteki eğilme momenti

Cevap

Tutarlı birimler

Her yük tek başına

Toplayın

Cevap

Sehim sınırı

Gereken atalet momenti

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

En küçük atalet momenti

Atalet yarıçapı ve narinlik

Kritik gerilme

Cevap

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

Cevap

Ağırlık merkezi

Alan atalet momenti

Her kenarın izin verdiği moment

Belirleyici değer

Cevap

Boşluk suyu basıncı

Cevap

Toplam gerilme

Boşluk suyu basıncı

Efektif gerilme

Cevap

Ön konsolidasyon basıncı

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

Oturma

Cevap

Drenaj yolu

Süre

Cevap

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

Bileşke kuvvet

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun