FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 6 mP₁ = 50 kN @ 1 mP₂ = 55 kN @ 3 m

R_B = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 4 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. A’dan 0,5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve 1,5 m konumundan 5 m konumundaki serbest uca kadar düzgün yayılı w yükünü taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_A değerini bulun.

AB = 4 mAC = 5 mP = 25 kN @ 0,5 mw = 2 kN/m, 1,5 ile 5 m arasında

R_A = kN

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 4 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 30 kN

F_AB = kN

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 35 kNyatay yük = 15 kN ←

F_AC = kN

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 4 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 10 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 4 m

V_x = kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 60 kN @ 2 mw = 6 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 2 m

M_x = kN·m

7.Kiriş sehimiOrta

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 0,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δ_B değerini bulun.

P = 22 kNa = 0,5 mL = 6 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Kiriş sehimiZor

75 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/300 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 75 mm

h_req = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 100 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 100 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 240 mm ve iç çapı d = 212 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 240 mmd = 212 mm

r = mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 40 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mmM = 40 kN·m

σ_üst = MPa

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki boşluk suyu basıncı u değerini bulun.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 16 kN/m³kum: γ_sat = 19,5 kN/m³

u = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 16 kN/m³kum: γ_sat = 20 kN/m³kil: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

5 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,25, C_r = 0,06 ve e₀ = 0,75. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 100 kPa ve aşırı konsolidasyon oranı OCR = 3. Yeni bir bina orta derinlikte 20 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 5 mC_c = 0,25C_r = 0,06e₀ = 0,75σ′₀ = 100 kPaOCR = 3Δσ = 20 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

Bir laboratuvar ödometre deneyinde, üstten ve alttan drene edilen 20 mm kalınlığındaki bir kil numunesi 4 dakikada %50 konsolidasyona ulaşıyor. Arazide aynı kil 9 m kalınlığında bir tabaka oluşturuyor. İki kum tabakası arasında bulunur, bu yüzden su üstten ve alttan drene olur. Arazideki tabakanın %50 konsolidasyona ulaşması kaç gün t sürer?

h_lab = 20 mmt_lab = 4 minH = 9 marazi: çift yönlü drenaj

t = gün

17.Hidrostatik kuvvetOrta

1,5 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2,5 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1,5 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, yağ dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2 m altında bulunuyor. Basınç merkezinin yüzeyden derinliği y_cp değerini bulun.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su, 1000 m uzunluğunda ve iç çapı 200 mm olan bir borudan 40 L/s debiyle akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,03 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Sürtünme yük kaybı h_f değerini bulun.

Q = 40 L/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

İki açık hazne, 200 m uzunluğunda, iç çapı 250 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 3 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 10) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Hazneler arasındaki hangi su seviyesi farkı Δz, 150 L/s debi verir?

Q = 150 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

İç çapı 750 mm olan beton bir yağmur suyu kanalı tam dolu akıyor (basınç altında değil, açık kanal olarak). Manning n = 0,013 ve eğim S = 0,003. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

İç çapı 200 mm olan beton bir kanalizasyon borusu (Manning n = 0,013) tam dolu akarken 0,75 m/s’lik kendi kendini temizleme hızına ulaşmalıdır. En küçük eğim S değerini (m/m cinsinden) bulun.

D = 200 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Verimi %75 olan bir pompa 78 m basma yüksekliğine karşı 50 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Gereken mil gücü P_shaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 50 L/sH = 78 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 50 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 6 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 200 m uzunluğunda, iç çapı 150 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,018; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 2,5 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompanın eklemesi gereken basma yüksekliği H değerini bulun.

Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 2,5

H = m

25.Paranın zaman değeriOrta

Bir anüite 14 yıl boyunca her yılın sonunda €5 000 ödüyor. Faiz oranı yıllık %3. Anüitenin bugünkü değeri PV değerini bulun.

A = €5 000i = 3%n = 14

PV = €

26.Paranın zaman değeriZor

€200 000 tutarındaki bir konut kredisi, aylık bileşik yıllık %3 faizle 25 yıl boyunca eşit aylık taksitlerle geri ödeniyor. 15. yılın sonundaki ödemeden hemen sonra hâlâ ne kadar borç vardır? Kalan bakiye B değerini bulun.

P = €200 0003% / 12N = 300k = 180

B = €

27.NBD ve IRROrta

Bir makine bugün €20 000 maliyetindedir, 7 yıl dayanır ve çalıştırılması yılda €4 000 tutar (her yılın sonunda ödenir). Sermaye maliyeti %12. Eşdeğer yıllık maliyeti EAC değerini bulun.

C₀ = €20 000M = €4 000n = 7r = 12%

EAC = €

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €40 000 maliyetindedir ve 1’den 3. yıla kadar her yılın sonunda €19 000, €22 500, €14 500 getirir. Nakit akışları %8 sermaye maliyetiyle yeniden yatırılabilir. Düzeltilmiş iç verim oranı MIRR değerini yüzde olarak bulun.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 19 000CF₂ = 22 500CF₃ = 14 500

MIRR = %

29.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,7257 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,7257

z =

30.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %99 olan x değerini bulun (99. yüzdelik).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = puan

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 35,83 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1 + 55·3

R_B = 215/6 = 35,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 35,83 = 69,17 kN

Cevap

R_B = 35,83 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 23,19 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 2·3,5 = 7 kN, x̄ = (1,5 + 5)/2 = 3,25 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·0,5 + 7·3,25

R_B = 35,25/4 = 8,813 kN

R_A = 32 − 8,813 = 23,19 kN

Cevap

R_A = 23,19 kN

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −22,36 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 10 = 20 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20/0,8944 = −22,36 kN

Cevap

F_AB = −22,36 kN (basınç)

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 5 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 − 15·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 15 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,9487 = −15,81 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15,81)·0,3162 = 5 kN

Cevap

F_AC = 5 kN (çekme)

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = −15 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

x = 4 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 25 − 10·4 = −15 kN

Cevap

V_x = −15 kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 144 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·2 + 6·10·5

R_B = 420/10 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 42 = 78 kN

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 78·2 − 6·2·1 = 144 kN·m

Cevap

M_x = 144 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_B = 63,41 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 22000 N, a = 500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3,623 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01087 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 63,41 mm

Cevap

δ_B = 63,41 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 194,1 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·11,67) = 4,568 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·4,568 × 10⁷/75)^1/3 = 194,1 mm

Cevap

h_req = 194,1 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 9,922 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Cevap

P_cr = 9,922 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 58,08 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 58,08 mm

Cevap

d = 58,08 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 144,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 80,06 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 9940 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,371 × 10⁷ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(6,371 × 10⁷/9940) = 80,06 mm

Cevap

r = 80,06 mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 196,8 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

gövde: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·127,5 + 1680·60)/4380 = 101,6 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 180·15³/12 + 2700·(127,5 − 101,6)² = 1,86 × 10⁶ mm⁴

gövde: 14·120³/12 + 1680·(60 − 101,6)² = 4,925 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,86 × 10⁶ + 4,925 × 10⁶ = 6,785 × 10⁶ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 135 − 101,6 = 33,39 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·33,39/6,785 × 10⁶ = 196,8 MPa

Cevap

σ_üst = 196,8 MPa

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: u = 49,05 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Cevap

u = 49,05 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 117 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16·2 + 20·2 + 18·2,5 = 117 kPa

Cevap

σ = 117 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 13,57 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncı

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·100 = 300 kPa

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 100 + 20 = 120 kPa ≤ 300 kPa

Oturma

Kil yeniden sıkışma doğrusu üzerinde kalır.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·5/(1 + 0,75)·log₁₀(120/100) = 13,57 mm

Cevap

S = 13,57 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 562,5 gün

Drenaj yolları

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 9/2 = 4,5 m

Süreyi ölçekleyin

Laboratuvarda ve arazide aynı T_v ve c_v ile t = T_v·H_dr²/c_v.

t_field = 4·(4,5/0,01)² = 810000 min

t_field = 810000/1440 = 562,5 gün

Cevap

t = 562,5 gün

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 44,15 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1,5 = 44,15 kN

Cevap

F = 44,15 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: y_cp = 2,533 m

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·1,5 = 32,37 kN

Basınç merkezi

Basınç derinlikle arttığından bileşke ağırlık merkezinin altında etkir.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,125/(2,5·1,5) = 2,533 m

Cevap

y_cp = 2,533 m

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: h_f = 12,39 m

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Ortalama hız

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

Hız yüksekliği

V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,2)·1,273²/(2·9,81) = 12,39 m

Cevap

h_f = 12,39 m

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Δz = 11,61 m

Hız

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Toplam yük kaybı

h_f = 12·0,4759 = 5,711 m

h_m = 12,4·0,4759 = 5,902 m

Δz = h_f + h_m = 11,61 m

Cevap

Δz = 11,61 m

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 0,6098 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = 0,4418 m², R = D/4 = 0,1875 m

Hız

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,003^1/2 = 1,38 m/s

Debi

Q = A·V = 0,4418·1,38 = 0,6098 m³/s

Cevap

Q = 0,6098 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,005161 m/m

Hidrolik yarıçap

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Manning’i S için çözün

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,1357)² = 0,005161

Cevap

S = 0,005161

Bu, kilometrede 5,161 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_shaft = 51,01 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·78 = 38,26 kW

Mil gücü

P_shaft = P_h/η = 38,26/0,75 = 51,01 kW

Cevap

P_shaft = 51,01 kW

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: H = 16,81 m

Hız

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 2,5)·0,408 = 10,81 m

Pompa basma yüksekliği

İki yüzey de açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden basınç ve hız terimleri düşer.

H = Δz + h_L = 6 + 10,81 = 16,81 m

Cevap

H = 16,81 m

25.Paranın zaman değeri

Cevap: PV = 56480 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Anüite faktörü

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6611)/0,03 = 11,3

Bugünkü değer

PV = 5 000·11,3 = €56 480,37

Cevap

PV = €56 480,37

26.Paranın zaman değeri

Cevap: B = 98220 €

Aylık taksit

i = 0,0025, N = 300

A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻³⁰⁰) = €948,42

Kalan ödemelerin bugünkü değeri

Hâlâ borçlu olunan tutar, kalan ödemelerle tam olarak kapatılmalıdır.

N − k = 300 − 180 = 120

B = 948,4·(1 − (1 + 0,0025)⁻¹²⁰)/0,0025 = €98 220,31

Cevap

B = €98 220,31

27.NBD ve IRR

Cevap: EAC = 8382 €

Eşdeğer yıllık maliyet: tüm maliyetlerin bugünkü değerini ömür boyunca eşit bir yıllık tutar (anüite) olarak dağıtın: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Farklı ömürlü makineleri karşılaştırmayı sağlar.

Anüite faktörü

(1 − 1,12⁻⁷)/0,12 = 4,564

Yıllıklandırılmış satın alma fiyatı

20 000/4,564 = 4 382,35

EAC

EAC = 4 382,35 + 4 000 = €8 382,35

Cevap

EAC = €8 382,35

28.NBD ve IRR

Cevap: MIRR = 15,08 %

Düzeltilmiş IRR: uç değer TV’yi bulmak için her girişi yeniden yatırım oranıyla (genellikle sermaye maliyeti) projenin sonuna kadar ileriye bileşik hesaplayın. MIRR, ilk yatırımı TV’ye dönüştüren orandır: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Girişlerin uç değeri

19 000·1,08² = 22 161,60

22 500·1,08¹ = 24 300,00

14 500·1,08⁰ = 14 500,00

TV = 60 961,60

MIRR

MIRR = (60 961,60/40 000)^1/3 − 1 = 15,08%

Cevap

MIRR = 15,08%

29.Normal dağılım

Cevap: z = −0,6

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,7257 = 0,2743

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,2743 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −0,60

Cevap

z = −0,60

30.Normal dağılım

Cevap: x = 134,9 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

x’e geri dönüş

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 puan

Cevap

x = 134,89 puan

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil