Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1440 rpm ile çalışan 2,2 kW’lık bir motor, 18 dişli ve 2,5 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet Ft değerini bulun.
P = 2,2 kWn = 1440 rpmN1 = 18m = 2,5 mm
Ft = N
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 24 dişi ve her planet dişlisinin 15 dişi var. Planet taşıyıcısı sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1200 rpm ile döndürülüyor. Çember dişlinin hızı nr değerini (büyüklük) bulun.
Ns = 24Np = 15ns = 1200 rpm
nr = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
1 m uzunluğundaki dolu bir çelik mil 1000 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 2°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.
T = 1000 N·mL = 1 mG = 80 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Millerin burulmasıZor
İçi boş bir mil 1500 dev/dk’da 20 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
P = 20 kWN = 1500 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −30 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = −30 MPaσy = −10 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 80 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 80 MPaσy = 110 MPaτxy = −50 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 500 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.
kesim 1: çelik, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 65 kNparça 1: Ø35 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 0,5 m, pirinç (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.
L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 30 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 4 çevrim sonra 6,6 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
x0 = 30 mmx4 = 6,6 mmn = 4
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
40 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 5 kN/m ve k₂ = 30 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 40 kgk1 = 5 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Ft = 648,4 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Pinyondaki tork
ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T = P/ω = 2200/150,8 = 14,59 N·m
Bölüm dairesi çapı
d = m·N = 2,5·18 = 45 mm
Teğetsel kuvvet
Ft = 2T/d = 2·14,59/0,045 = 648,4 N
Cevap
Ft = 648,4 N
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nr = 533,3 rpm
Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.
Çember dişli diş sayısı
Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·15 = 54
Taşıyıcı sabitken Willis denklemi
nc = 0 iken güneş dişlisi, ara dişli gibi davranan planetler aracılığıyla çemberi tahrik eder.
nr = −ns·Ns/Nr = −1200·24/54 = −533,3 rpm
|nr| = 533,3 rpm
Cevap
nr = 533,3 rpm
Çember güneşe ters yönde döner.
3.Millerin burulması
Cevap: d = 43,7 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Gerekli polar atalet momenti
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1000/(80000·0,03491) = 358099 mm⁴
Çap
d = (32J/π)1/4 = 43,7 mm
Cevap
d = 43,7 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
4.Millerin burulması
Cevap: τmax = 3,202 MPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m
Polar atalet momenti
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴
En büyük kayma gerilmesi
τmax = T·(do/2)/J = 127324·30/1,193 × 10⁶ = 3,202 MPa
Cevap
τmax = 3,202 MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 60,83 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((−30 − −10)/2)² + −60²) = 60,83 MPa
Cevap
τmax = 60,83 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 42,89 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 95 + −15·0,342 + −50·0,9397 = 42,89 MPa
Cevap
σθ = 42,89 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: P = 97,87 kN
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
Esneklikler
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1,474 × 10⁻⁶ mm/N
Yük
P = 0,3/3,065 × 10⁻⁶ = 97873 N = 97,87 kN
Cevap
P = 97,87 kN
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 206,9 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 67,56 MPa
σ2 = 206,9 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 206,9 MPa
Cevap
σmax = 206,9 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 2,481 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 1·2500 = 2500 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN
Cevap
Pcr = 2,481 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: σcr = 145 MPa
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Atalet yarıçapı ve narinlik
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/15 = 116,7
Kritik gerilme
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/116,7² = 145 MPa
Cevap
σcr = 145 MPa
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,06014
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Logaritmik azalma
δ = (1/4)·ln(30/6,6) = 0,3785
Sönüm oranı
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3785/√(39,48 + 0,1433) = 0,06014
Cevap
ζ = 0,06014
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 35 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 5 + 30 = 35 kN/m
Cevap
keq = 35 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design