Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 1440 rpm ile dönen 200 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 1000 N, gevşek tarafta 500 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 200 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 500 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 24 dişi ve her planet dişlisinin 12 dişi var. Çember dişli sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1440 rpm ile döndürülüyor. Planet taşıyıcısının hızı n_c değerini bulun.

N_s = 24N_p = 12n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 15 mm çaplı dolu bir numune 75 N·m torkla burulmuştur. 200 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 2,16° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 75 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 2,16°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1000 dev/dk’da 50 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 20 MPa ve σᵧ = 20 MPa’dır. En büyük asal gerilme 30 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 20 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 30 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 420 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 45 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 105 kNparça 1: Ø25 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 20 kN/m olan bir yay üzerindeki 100 kg’lık bir kütlenin, 0,35 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk = 20 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

50 kg’lık bir kütle k₃ = 30 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 10 kN/m ve k₂ = 30 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 7,54 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 15,08 m/s

Güç

P = (1000 − 500)·15,08 = 7540 W = 7,54 kW

Cevap

P = 7,54 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_c = 480 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·12 = 48

Çember sabitken Willis denklemi

n_r = 0 alın ve taşıyıcı hızını çözün.

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −48/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·24/72 = 480 rpm

Cevap

n_c = 480 rpm

Taşıyıcı güneşle aynı yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: G = 80,06 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,16·π/180 = 0,0377 rad

Kayma modülü

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(4970·0,0377) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Cevap

G = 80,06 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 29,19 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·25/408885 = 29,19 MPa

Cevap

τ_max = 29,19 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 10 MPa

Gerekli yarıçap

C = (20 + 20)/2 = 20 MPa

R = σ₁ − C = 30 − 20 = 10 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(10² − 0²) = 10 MPa

Cevap

τ_xy = 10 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 5,378

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = −55 MPa, R = 32,02 MPa

σ₁ = −22,98 MPa, σ₂ = −87,02 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √((−22,98)² − (−22,98)·(−87,02) + (−87,02)²) = 78,1 MPa

n = 420/78,1 = 5,378

Cevap

n = 5,378

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 3197 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/70000 = 0,003197 = 3197 µε

Cevap

ε = 3197 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 20,96 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 213,9·1000/200000 = 1,07 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 928,4·1500/70000 = 19,89 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 20,96 mm

Cevap

δ = 20,96 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 3,598 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/5000² = 3598 N = 3,598 kN

Cevap

P_cr = 3,598 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 197,4 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Cevap

σ_cr = 197,4 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 2,108 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(20000/100) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,35²) = 2,108 Hz

Cevap

f_d = 2,108 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,947 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 10 + 30 = 40 kN/m

k_eq = 40·30/(40 + 30) = 17,14 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(17143/50) = 18,52 rad/s

f_n = 18,52/(2π) = 2,947 Hz

Cevap

f_n = 2,947 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design