Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor, 16 dişli ve 5 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 1,1 kWn = 1450 rpmN₁ = 16m = 5 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 1500 rpm ile dönen 160 mm’lik bir tahrik kasnağını 400 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 500 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,35 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 600 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 160 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 400 mmC = 500 mmμ = 0,35T₁ = 600 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 40 mm, iç çap 20 mm, uzunluk 0,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 400 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md_o = 40 mmd_i = 20 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1800 dev/dk’da 20 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 20 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 15° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 130 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 300 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 130 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 200 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 80 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 20 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 15 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 3 çevrim sonra 3,3 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 15 mmx₃ = 3,3 mmn = 3

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle k₃ = 12 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 25 kN/m ve k₂ = 5 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 181,1 N

Dişli geometrisi: m modülü diş boyutunu belirler. N dişli bir dişlinin bölüm dairesi çapı d = m·N’dir, birbirine geçen iki dişlinin modülü aynıdır ve eksenler arası mesafeleri a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2’dir. Bölüm dairesi hızı v = π·d·n/60’tır ve teğetsel diş kuvveti torktan bulunur: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 1100/151,8 = 7,244 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 5·16 = 80 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·7,244/0,08 = 181,1 N

Cevap

F_t = 181,1 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 4,565 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Sarılma açısı

θ = 2,657 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,9299 = 2,534, T₂ = 600/2,534 = 236,8 N

Güç

P = (600 − 236,8)·12,57 = 4,565 kW

Cevap

P = 4,565 kW

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,871 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Burulma açısı

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·500/(26000·235619) = 0,03265 rad

φ = 0,03265·180/π = 1,871°

Cevap

φ = 1,871°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 4,237 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 106103·30/751193 = 4,237 MPa

Cevap

τ_max = 4,237 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 110,7 MPa

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 95 − 5·0,866 − (−40)·0,5 = 110,7 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 79,33 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 190 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 110,7 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 1,774

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 40 MPa, R = 94,87 MPa

σ₁ = 134,9 MPa, σ₂ = −54,87 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(134,9² − 134,9·(−54,87) + (−54,87)²) = 169,1 MPa

n = 300/169,1 = 1,774

Cevap

n = 1,774

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 78,08 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1,455 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,3/3,842 × 10⁻⁶ = 78075 N = 78,08 kN

Cevap

P = 78,08 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 23,42 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 120000·2827/200 = 1,696 × 10⁶ N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 80000·1,696 × 10⁶/2,05 × 10⁶ = 66207 N

Gerilme

σ₂ = 66207/2827 = 23,42 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 23,42 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 19,62 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Cevap

P_cr = 19,62 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 21,21 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 21,21 mm

Cevap

d = 21,21 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 132, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,08007

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/3)·ln(15/3,3) = 0,5047

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5047/√(39,48 + 0,2547) = 0,08007

Cevap

ζ = 0,08007

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 6,59 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 25 + 5 = 30 kN/m

k_eq = 30·12/(30 + 12) = 8,571 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(8571/5) = 41,4 rad/s

f_n = 41,4/(2π) = 6,59 Hz

Cevap

f_n = 6,59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design