Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2900 rpm ile çalışan 3 kW’lık bir motor 15 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 20 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 3 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 15N₂ = 20η = 98%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (12 diş) 3000 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (20 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (48 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 1080 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 3000 rpmA = 12B = 20C = 48n_out = 1080 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 40 mm ve uzunluğu 0,5 m; BC parçasının çapı 20 mm ve uzunluğu 2 m’dir. Serbest uç C’de 100 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1500 rpm’de 5 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,75 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 50 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 5 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 10 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 10 kNparça 1: Ø40 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

200 kg’lık bir kütle, rijitliği 80 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 4800 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 200 kgk = 80 kN/mc = 4800 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle k₃ = 40 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 10 kN/m ve k₂ = 60 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 12,91 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/303,7 = 9,879 N·m

Çıkış torku

T₂ = 9,879·20/15·0,98 = 12,91 N·m

Cevap

T₂ = 12,91 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Ara mil hızı

n_B = n_C = 3000·12/20 = 1800 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 48·1800/1080 = 80

Cevap

N_D = 80

3.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 19 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·500/(39000·251327) = 0,005101 rad

φ_BC = 100000·2000/(39000·15708) = 0,3265 rad

Toplam burulma

φ_C = 0,005101 + 0,3265 = 0,3316 rad = 19°

Cevap

φ_C = 19°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 16,8 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·31831/(π·50·0,6836)) = 16,8 mm

d_i = 0,75·16,8 = 12,6 mm

Cevap

d_o = 16,8 mm

Dolu bir mil d = 14,8 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 88,46 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = −5 MPa, R = √(65² + (−60)²) = 88,46 MPa

σ₁ = 83,46 MPa, σ₂ = −93,46 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(176,9, 83,46, 93,46)/2 = 88,46 MPa

Cevap

τ_abs = 88,46 MPa

Burada σ₁ ve σ₂ zıt işaretlidir, bu yüzden düzlem içi en büyük değer R aynı zamanda mutlak en büyük değerdir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 75 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 55 + 95·0 + 20·1 = 75 MPa

Cevap

σ_θ = 75 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,4042 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/70000 = 0,0002021 = 202,1 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0002021·2000 mm = 0,4042 mm

Cevap

δ = 0,4042 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 88,42 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 88,42 MPa

Cevap

σ_max = 88,42 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 62,01 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·1000 = 500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/500² = 62013 N = 62,01 kN

Cevap

P_cr = 62,01 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 1,919 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Cevap

σ_cr = 1,919 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,6

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·200) = 8000 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 4800/8000 = 0,6

Cevap

ζ = 0,6

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 5,678 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 10 + 60 = 70 kN/m

k_eq = 70·40/(70 + 40) = 25,45 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(25455/20) = 35,68 rad/s

f_n = 35,68/(2π) = 5,678 Hz

Cevap

f_n = 5,678 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design