Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

960 rpm ile çalışan 15 kW’lık bir motor 36 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 50 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %95. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 15 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 36N₂ = 50η = 95%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 18 dişi ve her planet dişlisinin 30 dişi var. Çember dişli sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1440 rpm ile döndürülüyor. Planet taşıyıcısının hızı n_c değerini bulun.

N_s = 18N_p = 30n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir çelik mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 40 mm ve uzunluğu 0,5 m; BC parçasının çapı 25 mm ve uzunluğu 1,5 m’dir. Serbest uç C’de 400 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 1000 dev/dk’da 100 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 100 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 80 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 80 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 45° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 140 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 25 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) pirinç malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 500 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 70 kNparça 1: Ø40 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 100 kN/m olan bir yay üzerindeki 40 kg’lık bir kütlenin, 0,4 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk = 100 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle k₃ = 60 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 100 kN/m ve k₂ = 100 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 196,9 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/100,5 = 149,2 N·m

Çıkış torku

T₂ = 149,2·50/36·0,95 = 196,9 N·m

Cevap

T₂ = 196,9 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_c = 270 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·30 = 78

Çember sabitken Willis denklemi

n_r = 0 alın ve taşıyıcı hızını çözün.

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −78/18

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·18/96 = 270 rpm

Cevap

n_c = 270 rpm

Taşıyıcı güneşle aynı yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 11,78 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·500/(80000·251327) = 0,009947 rad

φ_BC = 400000·1500/(80000·38350) = 0,1956 rad

Toplam burulma

φ_C = 0,009947 + 0,1956 = 0,2055 rad = 11,78°

Cevap

φ_C = 11,78°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 45,99 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45,99 mm

Cevap

d = 45,99 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −35,78 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 10/31,62 = 0,3162, sin 2θ_s = −30/31,62 = −0,9487

2θ_s = atan2(−30, 10) = −71,57°

Elemandaki açı

θ_s = −35,78°

kontrol: θ_s − θ_p = −35,78 − 9,217 = −45°

Cevap

θ_s = −35,78°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = 85 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −85·−1 + 10·0 = 85 MPa

Cevap

τ_θ = 85 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 82,92 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/4,824 × 10⁻⁶ = 82916 N = 82,92 kN

Cevap

P = 82,92 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 348,2 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 55,7 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 348,2 MPa

Cevap

σ_max = 348,2 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 9,462 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/8000² = 9462 N = 9,462 kN

Cevap

P_cr = 9,462 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 179 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Cevap

σ_cr = 179 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 7,293 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(100000/40) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7,958 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,4²) = 7,293 Hz

Cevap

f_d = 7,293 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 15,29 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 100 + 100 = 200 kN/m

k_eq = 200·60/(200 + 60) = 46,15 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(46154/5) = 96,08 rad/s

f_n = 96,08/(2π) = 15,29 Hz

Cevap

f_n = 15,29 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design