Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

3 ağızlı bir sonsuz vida 1440 rpm ile dönüyor ve 30 dişli bir sonsuz vida çarkını tahrik ediyor. Çarkın hızı n_w değerini bulun.

z = 3N_w = 30n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (24 diş) 1440 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (36 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (30 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 480 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 1440 rpmA = 24B = 36C = 30n_out = 480 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 20 mm çaplı dolu bir numune 100 N·m torkla burulmuştur. 200 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 0,91° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 100 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 0,91°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 3000 dev/dk’da 50 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 50 kWN = 3000 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 140 MPa ve σᵧ = 90 MPa’dır. En büyük asal gerilme 180 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 140 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 180 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 460 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 120 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 10 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile pirinç malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 100 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

5 kg’lık bir kütle, rijitliği 15 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 270 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 5 kgk = 15 kN/mc = 270 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

10 kg’lık bir kütle k₃ = 60 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 80 kN/m ve k₂ = 60 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_w = 144 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 1440·3/30 = 144 rpm

Cevap

n_w = 144 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 60

Ara mil hızı

n_B = n_C = 1440·24/36 = 960 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 30·960/480 = 60

Cevap

N_D = 60

3.Millerin burulması

Cevap: G = 80,17 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,91·π/180 = 0,01588 rad

Kayma modülü

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(15708·0,01588) = 80166 MPa

G = 80,17 GPa

Cevap

G = 80,17 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 5,49 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·30/869767 = 5,49 MPa

Cevap

τ_max = 5,49 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 60 MPa

Gerekli yarıçap

C = (140 + 90)/2 = 115 MPa

R = σ₁ − C = 180 − 115 = 65 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 25²) = 60 MPa

Cevap

τ_xy = 60 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,363

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 20 MPa, R = 111,8 MPa

σ₁ = 131,8 MPa, σ₂ = −91,8 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(131,8² − 131,8·(−91,8) + (−91,8)²) = 194,7 MPa

n = 460/194,7 = 2,363

Cevap

n = 2,363

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 755,7 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/117000 = 0,0007557 = 755,7 µε

Cevap

ε = 755,7 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 26,53 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 100000·314159/942478 = 33333 N

Gerilme

σ₂ = 33333/1257 = 26,53 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 26,53 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 3,473 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1250² = 3473 N = 3,473 kN

Cevap

P_cr = 3,473 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 55,08 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12,5 = 112

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa

Cevap

σ_cr = 55,08 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,493

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·5) = 547,7 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 270/547,7 = 0,493

Cevap

ζ = 0,493

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 10,31 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 80 + 60 = 140 kN/m

k_eq = 140·60/(140 + 60) = 42 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(42000/10) = 64,81 rad/s

f_n = 64,81/(2π) = 10,31 Hz

Cevap

f_n = 10,31 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design