Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

İki paralel mil arasında 60,75 mm mesafe var. Bunlar 1,5 mm modüllü ve 3,5 : 1 hız düşürme oranlı bir çift düz dişliyle bağlanmalıdır. Dişlinin kaç dişi N₂ olmalıdır?

a = 60,75 mmm = 1,5 mmi = 3,5

N₂ =

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 1200 mm arayla duran 120 mm’lik ve 300 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 120 mmd₂ = 300 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 50 mm ve uzunluğu 2,5 m; BC parçasının çapı 40 mm ve uzunluğu 1 m’dir. Serbest uç C’de 1000 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Millerin burulmasıZor

20 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 2,5 m ve B’den 2 m uzaklıktaki C’de 200 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku T_A değerini bulun.

d = 20 mmT₀ = 200 N·ma = 2,5 mb = 2 m

T_A = N·m

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünde 30° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 20° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 50 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 60 kNparça 1: Ø30 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 20 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 15 kN/m olan bir yay üzerindeki 10 kg’lık bir kütlenin, 0,6 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk = 15 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 5 kN/m ve k₂ = 30 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N₂ = 63

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Toplam diş sayısı

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·60,75/1,5 = 81

Orana göre bölün

N₁ = 81/(1 + 3,5) = 18

N₂ = 3,5·18 = 63

Cevap

N₂ = 63

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 171,4 °

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış açısı

asin(0,075) = 4,301°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·4,301 = 171,4°

Cevap

θ = 171,4°

3.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 11,83 °

Polar atalet momentleri

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·2500/(39000·613592) = 0,1045 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1000/(39000·251327) = 0,102 rad

Toplam burulma

φ_C = 0,1045 + 0,102 = 0,2065 rad = 11,83°

Cevap

φ_C = 11,83°

4.Millerin burulması

Cevap: T_A = 88,89 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·2/4,5 = 88,89 N·m

T_B = 200·2,5/4,5 = 111,1 N·m

Cevap

T_A = 88,89 N·m

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 40,98 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 0 − (−30)·0,5 − 30·(−0,866) = 40,98 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = −40,98 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 0 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 40,98 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 34,88 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 90 + −30·0,766 + −50·0,6428 = 34,88 MPa

Cevap

σ_θ = 34,88 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 3779 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/113,1 = 442,1 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 442,1/117000 = 0,003779 = 3779 µε

Cevap

ε = 3779 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,975 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 84,88 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 84,88·1000/200000 = 0,4244 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·1000/117000 = 2,551 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,975 mm

Cevap

δ = 2,975 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 8,721 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·6000 = 12000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/12000² = 8721 N = 8,721 kN

Cevap

P_cr = 8,721 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 65,65 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 65,65 mm

Cevap

d = 65,65 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 365,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 4,931 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(15000/10) = 38,73 rad/s

f_n = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,164·√(1 − 0,6²) = 4,931 Hz

Cevap

f_d = 4,931 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 6,658 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 30 = 35 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(35000/20) = 41,83 rad/s

f_n = 41,83/(2π) = 6,658 Hz

Cevap

f_n = 6,658 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design