Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1450 rpm’deki 2,2 kW’lık bir motor 2 ağızlı bir sonsuz vidayı tahrik ediyor. Sonsuz vida çarkının 36 dişi var ve aktarmanın verimi %65’tür. Çark milindeki çıkış torku Tw değerini bulun.
z = 2Nw = 36n = 1450 rpmP = 2,2 kWη = 65%
Tw = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde, 1440 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (15 diş) B dişlisini (20 diş) döndürüyor. C dişlisi (16 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (60 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.
nin = 1440 rpmA = 15B = 20C = 16D = 60
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
İçi boş bir mil 400 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 40 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap do değerini bulun.
T = 400 N·mdi/do = 0,5τallow = 40 MPa
do = mm
4.Millerin burulmasıZor
40 mm çaplı dolu bir pirinç mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 0,5 m ve B’den 1 m uzaklıktaki C’de 100 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.
d = 40 mmT0 = 100 N·ma = 0,5 mb = 1 m
TA = N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Bir noktada σₓ = 60 MPa ve σᵧ = 0 MPa’dır. En büyük asal gerilme 105 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τxy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?
σx = 60 MPaσy = 0 MPaσ1 = 105 MPa
τxy = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 20° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 50 MPaσy = −10 MPaτxy = −30 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 110 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.
P = 45 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)
δ = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 90 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 90 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
200 kg’lık bir kütle, rijitliği 80 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 2000 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 200 kgk = 80 kN/mc = 2000 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
50 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 20 kN/m, alttakinin k₂ = 25 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 50 kgk1 = 20 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Tw = 169,5 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Çark hızı
nw = n·z/Nw = 1450·2/36 = 80,56 rpm
Çıkış torku
ωw = 2π·80,56/60 = 8,436 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0,65·2200/8,436 = 169,5 N·m
Cevap
Tw = 169,5 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nout = 288 rpm
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Birinci kademe
nB = 1440·15/20 = 1080 rpm = nC
İkinci kademe
nout = 1080·16/60 = 288 rpm
Cevap
nout = 288 rpm
toplam oran = 5 : 1
3.Millerin burulması
Cevap: do = 37,87 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Emniyet gerilmesinden dış çap
T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0,9375)) = 37,87 mm
di = 0,5·37,87 = 18,94 mm
Cevap
do = 37,87 mm
Dolu bir mil d = 37,07 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.
4.Millerin burulması
Cevap: TA = 66,67 N·m
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).
Denge ve uygunluk
TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·1/1,5 = 66,67 N·m
TB = 100·0,5/1,5 = 33,33 N·m
Cevap
TA = 66,67 N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τxy = 68,74 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Gerekli yarıçap
C = (60 + 0)/2 = 30 MPa
R = σ1 − C = 105 − 30 = 75 MPa
Kayma gerilmesi
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 30²) = 68,74 MPa
Cevap
τxy = 68,74 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 62,26 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 20 + 30·0,766 + −30·−0,6428 = 62,26 MPa
Cevap
σθ = 62,26 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 2,801 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 110·1000/490,9 = 224,1 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 224,1/200000 = 0,00112 = 1120 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,00112·2500 mm = 2,801 mm
Cevap
δ = 2,801 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 2,037 mm
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 35,81 MPa
σ2 = 223,8 MPa
Parça uzamalarını toplayın
δ1 = σ1L1/E1 = 35,81·2000/200000 = 0,3581 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 223,8·1500/200000 = 1,679 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,037 mm
Cevap
δ = 2,037 mm
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 3,473 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 1·5000 = 5000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN
Cevap
Pcr = 3,473 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 63,94 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 63,94 mm
Cevap
d = 63,94 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 187,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,25
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·200) = 8000 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 2000/8000 = 0,25
Cevap
ζ = 0,25
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 2,373 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/20 + 1/25 → keq = 20·25/(20 + 25) = 11,11 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(11111/50) = 14,91 rad/s
fn = 14,91/(2π) = 2,373 Hz
Cevap
fn = 2,373 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design