Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
960 rpm ile çalışan 22 kW’lık bir motor, 24 dişli ve 3 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet Ft değerini bulun.
P = 22 kWn = 960 rpmN1 = 24m = 3 mm
Ft = N
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
1450 rpm’deki 11 kW’lık bir motor A dişlisini (20 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (32 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (25 diş), çıkış milindeki D dişlisini (80 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %96’dır. Çıkış torku Tout değerini bulun.
P = 11 kWnin = 1450 rpmA = 20B = 32C = 25D = 80ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.Millerin burulmasıOrta
Bir burulma deneyinde 20 mm çaplı dolu bir numune 40 N·m torkla burulmuştur. 300 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 1,68° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.
T = 40 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 1,68°
G = GPa
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 1800 dev/dk’da 20 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 20 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −30 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = −30 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
İç çapı 600 mm ve et kalınlığı 12 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 0,8 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 25° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σn değerini bulun.
D = 600 mmt = 12 mmp = 0,8 MPaα = 25°
σn = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 60 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 30 kNparça 1: Ø35 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 3 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 115 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 115 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 33,1 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
x0 = 40 mmx1 = 33,1 mmn = 1
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
20 kg’lık bir kütle k₃ = 15 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 10 kN/m ve k₂ = 5 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 20 kgk1 = 10 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Ft = 6079 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Pinyondaki tork
ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T = P/ω = 22000/100,5 = 218,8 N·m
Bölüm dairesi çapı
d = m·N = 3·24 = 72 mm
Teğetsel kuvvet
Ft = 2T/d = 2·218,8/0,072 = 6079 N
Cevap
Ft = 6079 N
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Tout = 341,8 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Çıkış hızı
nout = 1450·(20/32)·(25/80) = 283,2 rpm
ωout = 2π·283,2/60 = 29,66 rad/s
Çıkış gücü ve tork
Pout = 11000·0,96² = 10138 W
Tout = Pout/ωout = 10138/29,66 = 341,8 N·m
Cevap
Tout = 341,8 N·m
3.Millerin burulması
Cevap: G = 26,05 GPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti ve açı
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1,68·π/180 = 0,02932 rad
Kayma modülü
T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·300/(15708·0,02932) = 26054 MPa
G = 26,05 GPa
Cevap
G = 26,05 GPa
Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.
4.Millerin burulması
Cevap: d = 22,11 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·106103/(π·50)) = 22,11 mm
Cevap
d = 22,11 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 76,16 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((−30 − 110)/2)² + 30²) = 76,16 MPa
Cevap
τmax = 76,16 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σn = 18,21 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. İnce cidarlı silindir: çevresel gerilme σh = pr/t ve eksenel gerilme σa = pr/(2t); bunlar cidardaki asal gerilmelerdir.
Cidar gerilmeleri
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 0,8·300/12 = 20 MPa
σa = pr/(2t) = 10 MPa
Dikişe dönüştürün
x’i eksen boyunca (σa), y’yi çevre boyunca (σh) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.
σn = 10·sin²25° + 20·cos²25° = 18,21 MPa
Cevap
σn = 18,21 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,6063 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 84,88/70000 = 0,001213 = 1213 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,001213·500 mm = 0,6063 mm
Cevap
δ = 0,6063 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 149,2 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 31,18 MPa
σ2 = 149,2 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 149,2 MPa
Cevap
σmax = 149,2 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 22,85 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 1·3000 = 3000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3000² = 22846 N = 22,85 kN
Cevap
Pcr = 22,85 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 96,15 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 96,15 mm
Cevap
d = 96,15 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 249,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,03012
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Logaritmik azalma
δ = (1/1)·ln(40/33,1) = 0,1893
Sönüm oranı
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1893/√(39,48 + 0,03585) = 0,03012
Cevap
ζ = 0,03012
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 3,082 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yalnızca k1 ve k2 paraleldir. Bu çift k3 ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.
k12 = 10 + 5 = 15 kN/m
keq = 15·15/(15 + 15) = 7,5 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(7500/20) = 19,36 rad/s
fn = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Cevap
fn = 3,082 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design