Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1440 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor 18 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 20 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.
P = 1,1 kWn1 = 1440 rpmN1 = 18N2 = 20η = 97%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
1450 rpm’deki 15 kW’lık bir motor A dişlisini (40 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (80 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (40 diş), çıkış milindeki D dişlisini (48 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %96’dır. Çıkış torku Tout değerini bulun.
P = 15 kWnin = 1450 rpmA = 40B = 80C = 40D = 48ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.Millerin burulmasıOrta
İçi boş bir mil 400 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,75 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 50 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap do değerini bulun.
T = 400 N·mdi/do = 0,75τallow = 50 MPa
do = mm
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 1500 dev/dk’da 75 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 75 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = 40 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
50 mm çaplı dolu bir mil, 500 N·m tork ile birlikte 50 kN eksenel çekme kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
d = 50 mmF = 50 kNT = 500 N·m
τmax = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 50 mm, E = 120 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 300 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.
P = 300 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 400 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 50 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.
kesim 1: çelik, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 140 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 140 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
25 kg’lık bir kütle, rijitliği 4 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 380 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 25 kgk = 4 kN/mc = 380 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
25 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 10 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T2 = 7,862 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m
Çıkış torku
T2 = 7,295·20/18·0,97 = 7,862 N·m
Cevap
T2 = 7,862 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Tout = 218,5 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Çıkış hızı
nout = 1450·(40/80)·(40/48) = 604,2 rpm
ωout = 2π·604,2/60 = 63,27 rad/s
Çıkış gücü ve tork
Pout = 15000·0,96² = 13824 W
Tout = Pout/ωout = 13824/63,27 = 218,5 N·m
Cevap
Tout = 218,5 N·m
3.Millerin burulması
Cevap: do = 39,06 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Emniyet gerilmesinden dış çap
T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·50·0,6836)) = 39,06 mm
di = 0,75·39,06 = 29,3 mm
Cevap
do = 39,06 mm
Dolu bir mil d = 34,41 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.
4.Millerin burulması
Cevap: d = 36,5 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·50)) = 36,5 mm
Cevap
d = 36,5 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 22,36 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((40 − 20)/2)² + −20²) = 22,36 MPa
Cevap
τmax = 22,36 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 24,02 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Yüzeydeki gerilmeler
σ = F/A = 50000/(π·50²/4) = 50000/1963 = 25,46 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa
Mohr dairesi
C = σ/2 = 12,73 MPa
R = √(12,73² + 20,37²) = 24,02 MPa
Cevap
τmax = 24,02 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,1454 mm
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6,189 × 10⁸ N
Kısalma
δ = 300000·300/6,189 × 10⁸ = 0,1454 mm
Cevap
δ = 0,1454 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σ2 = 15,11 MPa
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Rijitlikler
k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm
2. kesimin payı
F2 = 50000·343612/579231 = 29661 N
Gerilme
σ2 = 29661/1963 = 15,11 MPa (basınç)
Cevap
σ2 = 15,11 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 5,829 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 2·2000 = 4000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/4000² = 5829 N = 5,829 kN
Cevap
Pcr = 5,829 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 131,3 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2·140000 = 280000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 131,3 mm
Cevap
d = 131,3 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 182,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,6008
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·25) = 632,5 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 380/632,5 = 0,6008
Cevap
ζ = 0,6008
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 40 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 30 + 10 = 40 kN/m
Cevap
keq = 40 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design