Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
Bir kayış, 1440 rpm ile dönen 100 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 1200 N, gevşek tarafta 480 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.
d1 = 100 mmn1 = 1440 rpmT1 = 1200 NT2 = 480 N
P = kW
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Açık bir kayış, merkezleri 800 mm arayla duran 150 mm’lik ve 400 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.
d1 = 150 mmd2 = 400 mmC = 800 mm
θ = °
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 250 N·md = 20 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir çelik mil 1450 rpm’de 10 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 40 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 1° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.
P = 10 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPaθallow = 1°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Bir noktada σₓ = 80 MPa ve σᵧ = 40 MPa’dır. En büyük asal gerilme 105 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τxy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?
σx = 80 MPaσy = 40 MPaσ1 = 105 MPa
τxy = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 30° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 100 MPaσy = −80 MPaτxy = 50 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 400 mm’dir ve rijit levhalar arasında 150 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.
P = 150 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 20 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.
kesim 1: çelik, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 120 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Rijitliği 150 kN/m olan bir yay üzerindeki 20 kg’lık bir kütlenin, 0,5 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı fd değerini Hz cinsinden bulun.
m = 20 kgk = 150 kN/mζ = 0,5
fd = Hz
12.Mekanik titreşimlerZor
20 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 60 kN/m, alttakinin k₂ = 12 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: P = 5,429 kW
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış hızı
v = 7,54 m/s
Güç
P = (1200 − 480)·7,54 = 5429 W = 5,429 kW
Cevap
P = 5,429 kW
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: θ = 162 °
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış açısı
asin(0,1563) = 8,989°
Sarılma açısı
θ = 180 − 2·8,989 = 162°
Cevap
θ = 162°
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 13,68 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(80000·15708) = 0,2387 rad
φ = 0,2387·180/π = 13,68°
Cevap
φ = 13,68°
4.Millerin burulması
Cevap: d = 26,33 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m
Dayanım için çap
T = 65,86 N·m = 65857 N·mm
dτ = ∛(16·65857/(π·40)) = 20,32 mm
Rijitlik için çap
θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·65857/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 26,33 mm
Belirleyici çap
İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.
d = max(20,32, 26,33) = 26,33 mm
Cevap
d = 26,33 mm
Burada rijitlik belirleyicidir.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τxy = 40,31 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Gerekli yarıçap
C = (80 + 40)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 105 − 60 = 45 MPa
Kayma gerilmesi
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 20²) = 40,31 MPa
Cevap
τxy = 40,31 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 98,3 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 10 + 90·0,5 + 50·0,866 = 98,3 MPa
Cevap
σθ = 98,3 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,07022 mm
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N
Kısalma
δ = 150000·400/8,545 × 10⁸ = 0,07022 mm
Cevap
δ = 0,07022 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σ2 = 5,838 MPa
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Rijitlikler
k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 70000·2827/200 = 989602 N/mm
2. kesimin payı
F2 = 20000·989602/1,199 × 10⁶ = 16507 N
Gerilme
σ2 = 16507/2827 = 5,838 MPa (basınç)
Cevap
σ2 = 5,838 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 3,876 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3,876 kN
Cevap
Pcr = 3,876 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 91,26 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 91,26 mm
Cevap
d = 91,26 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 122,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: fd = 11,94 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sönümsüz doğal frekans
ωn = √(150000/20) = 86,6 rad/s
fn = 86,6/(2π) = 13,78 Hz
Sönümlü doğal frekans
fd = fn·√(1 − ζ²) = 13,78·√(1 − 0,5²) = 11,94 Hz
Cevap
fd = 11,94 Hz
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 10 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/60 + 1/12 → keq = 60·12/(60 + 12) = 10 kN/m
Cevap
keq = 10 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design