Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 1440 rpm ile dönen 160 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 500 N, gevşek tarafta 250 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 500 NT₂ = 250 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 1200 mm arayla duran 160 mm’lik ve 200 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 160 mmd₂ = 200 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 1000 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,7 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 40 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 dev/dk’da 20 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −20 MPa, σᵧ = 0 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = −20 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

40 mm çaplı dolu bir mil, 200 N·m tork ile birlikte 200 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 40 mmM = 200 N·mT = 200 N·m

τ_max = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 75 kNd = 20 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 105 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

100 kg’lık bir kütle, rijitliği 20 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 710 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 100 kgk = 20 kN/mc = 710 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle k₃ = 5 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 50 kN/m ve k₂ = 100 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 3,016 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 12,06 m/s

Güç

P = (500 − 250)·12,06 = 3016 W = 3,016 kW

Cevap

P = 3,016 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 178,1 °

Kayış açısı

asin(0,01667) = 0,955°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·0,955 = 178,1°

Cevap

θ = 178,1°

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 55,13 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·40·0,7599)) = 55,13 mm

d_i = 0,7·55,13 = 38,59 mm

Cevap

d_o = 55,13 mm

Dolu bir mil d = 50,31 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 11,85 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·30/966855 = 11,85 MPa

Cevap

τ_max = 11,85 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = 13,28 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 20/22,36 = 0,8944, sin 2θ_s = −(−10)/22,36 = 0,4472

2θ_s = atan2(10, 20) = 26,57°

Elemandaki açı

θ_s = 13,28°

kontrol: θ_s − θ_p = 13,28 − 58,28 = −45°

Cevap

θ_s = 13,28°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 22,51 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 15,92 MPa

R = √(15,92² + 15,92²) = 22,51 MPa

Cevap

τ_max = 22,51 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,04 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/117000 = 0,00204 = 2040 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,00204·1000 mm = 2,04 mm

Cevap

δ = 2,04 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 928,4 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 928,4 MPa

Cevap

σ_max = 928,4 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,429 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/8000² = 2429 N = 2,429 kN

Cevap

P_cr = 2,429 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 87,73 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/10 = 150

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Cevap

σ_cr = 87,73 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,251

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·100) = 2828 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 710/2828 = 0,251

Cevap

ζ = 0,251

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,214 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 50 + 100 = 150 kN/m

k_eq = 150·5/(150 + 5) = 4,839 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(4839/25) = 13,91 rad/s

f_n = 13,91/(2π) = 2,214 Hz

Cevap

f_n = 2,214 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design