Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
960 rpm ile çalışan 15 kW’lık bir motor 30 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 60 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.
P = 15 kWn1 = 960 rpmN1 = 30N2 = 60η = 98%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Açık bir kayış, merkezleri 800 mm arayla duran 200 mm’lik ve 315 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.
d1 = 200 mmd2 = 315 mmC = 800 mm
θ = °
3.Millerin burulmasıOrta
2 m uzunluğundaki dolu bir pirinç mil 400 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 1,5°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.
T = 400 N·mL = 2 mG = 39 GPaφallow = 1,5°
d = mm
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 60 MPa değerini aşmadan 3000 dev/dk’da 10 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 10 kWN = 3000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.
σx = 20 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 20° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = −70 MPaσy = −60 MPaτxy = −50 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 100 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.
P = 30 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 0,5 m, pirinç (E = 100 GPa)
δ = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 110 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 110 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Rijitliği 15 kN/m olan bir yay üzerindeki 12 kg’lık bir kütlenin, 0,3 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı fd değerini Hz cinsinden bulun.
m = 12 kgk = 15 kN/mζ = 0,3
fd = Hz
12.Mekanik titreşimlerZor
25 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 80 kN/m, alttakinin k₂ = 12 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 25 kgk1 = 80 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T2 = 292,4 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/100,5 = 149,2 N·m
Çıkış torku
T2 = 149,2·60/30·0,98 = 292,4 N·m
Cevap
T2 = 292,4 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: θ = 171,8 °
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış açısı
asin(0,07187) = 4,122°
Sarılma açısı
θ = 180 − 2·4,122 = 171,8°
Cevap
θ = 171,8°
3.Millerin burulması
Cevap: d = 53,15 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Gerekli polar atalet momenti
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·2000/(39000·0,02618) = 783532 mm⁴
Çap
d = (32J/π)1/4 = 53,15 mm
Cevap
d = 53,15 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
4.Millerin burulması
Cevap: d = 13,93 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·60)) = 13,93 mm
Cevap
d = 13,93 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θp = 47,38 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.
2θp = atan2(2·60, 20 − 30) = 94,76°
Elemandaki açı
θp = 47,38°
Cevap
θp = 47,38°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = −36,69 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = −65 + −5·0,766 + −50·−0,6428 = −36,69 MPa
Cevap
σθ = −36,69 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 3,627 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 141,5/117000 = 0,001209 = 1209 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,001209·3000 mm = 3,627 mm
Cevap
δ = 3,627 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 1,663 mm
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 61,12 MPa
σ2 = 149,2 MPa
Parça uzamalarını toplayın
δ1 = σ1L1/E1 = 61,12·1500/100000 = 0,9167 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 149,2·500/100000 = 0,746 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,663 mm
Cevap
δ = 1,663 mm
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 9,922 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 2·2500 = 5000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN
Cevap
Pcr = 9,922 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 88,31 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 3·110000 = 330000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 88,31 mm
Cevap
d = 88,31 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 113,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: fd = 5,368 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sönümsüz doğal frekans
ωn = √(15000/12) = 35,36 rad/s
fn = 35,36/(2π) = 5,627 Hz
Sönümlü doğal frekans
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5,627·√(1 − 0,3²) = 5,368 Hz
Cevap
fd = 5,368 Hz
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 10,43 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/80 + 1/12 → keq = 80·12/(80 + 12) = 10,43 kN/m
Cevap
keq = 10,43 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design