Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 2880 rpm ile dönen 125 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 400 N, gevşek tarafta 200 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 125 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 1440 rpm ile dönen 80 mm’lik bir tahrik kasnağını 200 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 500 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,25 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 1500 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 80 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 200 mmC = 500 mmμ = 0,25T₁ = 1500 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 40 MPa değerini aşmadan 500 dev/dk’da 20 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 10 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). von Mises eşdeğer gerilmesi σ_vM değerini bulun.

σ_x = 30 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPa

σ_vM = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 55 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 90 kNparça 1: Ø25 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 10 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 7,8 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 10 mmx₁ = 7,8 mmn = 1

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle k₃ = 12 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 100 kN/m ve k₂ = 25 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 3,77 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 18,85 m/s

Güç

P = (400 − 200)·18,85 = 3770 W = 3,77 kW

Cevap

P = 3,77 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 4,667 kW

Sarılma açısı

θ = 2,901 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,7253 = 2,065, T₂ = 1500/2,065 = 726,3 N

Güç

P = (1500 − 726,3)·6,032 = 4,667 kW

Cevap

P = 4,667 kW

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 8,314 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(26000·79522) = 0,1451 rad

φ = 0,1451·180/π = 8,314°

Cevap

φ = 8,314°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 36,5 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·40)) = 36,5 mm

Cevap

d = 36,5 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = 81,65 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = −50/52,2 = −0,9578, sin 2θ_s = −(−15)/52,2 = 0,2873

2θ_s = atan2(15, −50) = 163,3°

Elemandaki açı

θ_s = 81,65°

kontrol: θ_s − θ_p = 81,65 − (−53,35) = 135°

Cevap

θ_s = 81,65°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_vM = 128,5 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 75 MPa, R = 60,21 MPa

σ₁ = 135,2 MPa, σ₂ = 14,79 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(135,2² − 135,2·14,79 + 14,79²) = 128,5 MPa

Cevap

σ_vM = 128,5 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,9577 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490,9 = 112 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 112/117000 = 0,0009577 = 957,7 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0009577·1000 mm = 0,9577 mm

Cevap

δ = 0,9577 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 795,8 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 183,3 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 795,8 MPa

Cevap

σ_max = 795,8 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 27,47 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27,47 kN

Cevap

P_cr = 27,47 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 38,86 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Cevap

σ_cr = 38,86 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,03951

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/1)·ln(10/7,8) = 0,2485

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2485/√(39,48 + 0,06173) = 0,03951

Cevap

ζ = 0,03951

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 3,724 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 100 + 25 = 125 kN/m

k_eq = 125·12/(125 + 12) = 10,95 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(10949/20) = 23,4 rad/s

f_n = 23,4/(2π) = 3,724 Hz

Cevap

f_n = 3,724 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design