Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1500 rpm ile çalışan 11 kW’lık bir motor 25 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 32 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 11 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 25N₂ = 32η = 98%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1500 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (30 diş) B dişlisini (72 diş) döndürüyor. C dişlisi (25 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (45 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1500 rpmA = 30B = 72C = 25D = 45

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

60 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 2 m uzaklıktaki B’de 1500 N·m tork, ondan 1,2 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 750 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 750 N·mAB = 2 mBC = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 355 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 120 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 80 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 45 kNparça 1: Ø25 mm, 2 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 20 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 200 kN/m olan bir yay üzerindeki 250 kg’lık bir kütlenin, 0,45 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 250 kgk = 200 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 12 kN/m, alttakinin k₂ = 60 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 70,03 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/157,1 = 70,03 N·m

Cevap

T₁ = 70,03 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 347,2 rpm

Birinci kademe

n_B = 1500·30/72 = 625 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 625·25/45 = 347,2 rpm

Cevap

n_out = 347,2 rpm

toplam oran = 4,32 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 11,21 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·38350) = 0,1956 rad

φ = 0,1956·180/π = 11,21°

Cevap

φ = 11,21°

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 6,235 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 1500 = 2250 N·m

Her parçanın burulması

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 2,25 × 10⁶·2000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,09069 rad

φ_BC = 750000·1200/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,01814 rad

C ucunun burulması

φ_C = 0,09069 + 0,01814 = 0,1088 rad → |φ_C| = 6,235°

Cevap

φ_C = 6,235°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −48 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = −10/95,52 = −0,1047, sin 2θ_s = −95/95,52 = −0,9945

2θ_s = atan2(−95, −10) = −96,01°

Elemandaki açı

θ_s = −48°

kontrol: θ_s − θ_p = −48 − (−3,005) = −45°

Cevap

θ_s = −48°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,846

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 80 MPa, R = 44,72 MPa

σ₁ = 124,7 MPa, σ₂ = 35,28 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 124,7 MPa

n = 355/124,7 = 2,846

Cevap

n = 2,846

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 5684 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/201,1 = 397,9 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/70000 = 0,005684 = 5684 µε

Cevap

ε = 5684 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,283 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,67·2000/117000 = 1,567 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·1000/200000 = 0,7162 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,283 mm

Cevap

δ = 2,283 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 109,9 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

Cevap

P_cr = 109,9 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 77,92 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 77,92 mm

Cevap

d = 77,92 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 256,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 4,02 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(200000/250) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,502·√(1 − 0,45²) = 4,02 Hz

Cevap

f_d = 4,02 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 7,118 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/60 → k_eq = 12·60/(12 + 60) = 10 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(10000/5) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Cevap

f_n = 7,118 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design