Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

960 rpm ile çalışan 11 kW’lık bir motor, 18 dişli ve 2 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 11 kWn = 960 rpmN₁ = 18m = 2 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

1440 rpm’deki 11 kW’lık bir motor A dişlisini (30 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (80 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (50 diş), çıkış milindeki D dişlisini (72 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %97’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 11 kWn_in = 1440 rpmA = 30B = 80C = 50D = 72η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

40 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 2,5 m uzaklıktaki B’de 1000 N·m tork, ondan 1,2 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 250 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 250 N·mAB = 2,5 mBC = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 130 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 130 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 110 kNd = 10 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 200 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 30 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 10 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 4 kN/m olan bir yay üzerindeki 40 kg’lık bir kütlenin, 0,35 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk = 4 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 50 kN/m, alttakinin k₂ = 5 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 6079 N

Dişli geometrisi: m modülü diş boyutunu belirler. N dişli bir dişlinin bölüm dairesi çapı d = m·N’dir, birbirine geçen iki dişlinin modülü aynıdır ve eksenler arası mesafeleri a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2’dir. Bölüm dairesi hızı v = π·d·n/60’tır ve teğetsel diş kuvveti torktan bulunur: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 11000/100,5 = 109,4 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 2·18 = 36 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·109,4/0,036 = 6079 N

Cevap

F_t = 6079 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 263,6 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

n_out = 1440·(30/80)·(50/72) = 375 rpm

ω_out = 2π·375/60 = 39,27 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 11000·0,97² = 10350 W

T_out = P_out/ω_out = 10350/39,27 = 263,6 N·m

Cevap

T_out = 263,6 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 5,629 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·79522) = 0,09824 rad

φ = 0,09824·180/π = 5,629°

Cevap

φ = 5,629°

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 9,207 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 1000 = −750 N·m

Her parçanın burulması

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −750000·2500/(39000·251327) = −0,1913 rad

φ_BC = 250000·1200/(39000·251327) = 0,03061 rad

C ucunun burulması

φ_C = −0,1913 + 0,03061 = −0,1607 rad → |φ_C| = 9,207°

Cevap

φ_C = 9,207°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −31,72 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 50/111,8 = 0,4472, sin 2θ_s = −100/111,8 = −0,8944

2θ_s = atan2(−100, 50) = −63,43°

Elemandaki açı

θ_s = −31,72°

kontrol: θ_s − θ_p = −31,72 − 13,28 = −45°

Cevap

θ_s = −31,72°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = −15,37 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −20·0,9397 + 10·0,342 = −15,37 MPa

Cevap

τ_θ = −15,37 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 7003 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1401/200000 = 0,007003 = 7003 µε

Cevap

ε = 7003 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 9,637 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 30000·1,555 × 10⁶/1,712 × 10⁶ = 27248 N

Gerilme

σ₂ = 27248/2827 = 9,637 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 9,637 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 20,47 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/3000² = 20470 N = 20,47 kN

Cevap

P_cr = 20,47 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 52,75 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 52,75 mm

Cevap

d = 52,75 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 379,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 1,491 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(4000/40) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,35²) = 1,491 Hz

Cevap

f_d = 1,491 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 4,545 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/5 → k_eq = 50·5/(50 + 5) = 4,545 kN/m

Cevap

k_eq = 4,545 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design