Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1 ağızlı bir sonsuz vida 1450 rpm ile dönüyor ve 48 dişli bir sonsuz vida çarkını tahrik ediyor. Çarkın hızı n_w değerini bulun.

z = 1N_w = 48n = 1450 rpm

n_w = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 2880 rpm ile dönen 125 mm’lik bir tahrik kasnağını 500 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 1200 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,35 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 600 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 125 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 500 mmC = 1200 mmμ = 0,35T₁ = 600 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1000 dev/dk’da 75 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 80 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 80 MPa ve σᵧ = 80 MPa’dır. En büyük asal gerilme 105 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 250 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 110 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 15 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 25 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 25 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 150 kN/m olan bir yay üzerindeki 80 kg’lık bir kütlenin, 0,6 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 80 kgk = 150 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 5 kN/m ve k₂ = 60 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_w = 30,21 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 1450·1/48 = 30,21 rpm

Cevap

n_w = 30,21 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 7,106 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Sarılma açısı

θ = 2,828 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,9897 = 2,691, T₂ = 600/2,691 = 223 N

Güç

P = (600 − 223)·18,85 = 7,106 kW

Cevap

P = 7,106 kW

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,6839 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(80000·251327) = 0,01194 rad

φ = 0,01194·180/π = 0,6839°

Cevap

φ = 0,6839°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 8,185 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·40/3,5 × 10⁶ = 8,185 MPa

Cevap

τ_max = 8,185 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 25 MPa

Gerekli yarıçap

C = (80 + 80)/2 = 80 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 80 = 25 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 0²) = 25 MPa

Cevap

τ_xy = 25 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,076

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 95 MPa, R = 42,72 MPa

σ₁ = 137,7 MPa, σ₂ = 52,28 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(137,7² − 137,7·52,28 + 52,28²) = 120,4 MPa

n = 250/120,4 = 2,076

Cevap

n = 2,076

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,501 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 110·1000/314,2 = 350,1 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 350,1/70000 = 0,005002 = 5002 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,005002·500 mm = 2,501 mm

Cevap

δ = 2,501 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,175 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 30,56·1500/100000 = 0,4584 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1500/100000 = 0,7162 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,175 mm

Cevap

δ = 1,175 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 25,7 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2000² = 25702 N = 25,7 kN

Cevap

P_cr = 25,7 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 24,82 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 24,82 mm

Cevap

d = 24,82 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 112,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 5,513 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(150000/80) = 43,3 rad/s

f_n = 43,3/(2π) = 6,892 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,892·√(1 − 0,6²) = 5,513 Hz

Cevap

f_d = 5,513 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 65 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 60 = 65 kN/m

Cevap

k_eq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design