Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

İki paralel mil arasında 180 mm mesafe var. Bunlar 3 mm modüllü ve 3 : 1 hız düşürme oranlı bir çift düz dişliyle bağlanmalıdır. Dişlinin kaç dişi N₂ olmalıdır?

a = 180 mmm = 3 mmi = 3

N₂ =

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 960 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (50 diş) B dişlisini (72 diş) döndürüyor. C dişlisi (24 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (36 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 960 rpmA = 50B = 72C = 24D = 36

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

0,5 m uzunluğundaki dolu bir alüminyum mil 1500 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 2°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 1500 N·mL = 0,5 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 750 dev/dk’da 5 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 20° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 140 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 100 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

50 kg’lık bir kütle, rijitliği 40 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 1700 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 50 kgk = 40 kN/mc = 1700 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 10 kN/m ve k₂ = 80 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N₂ = 90

Dişli geometrisi: m modülü diş boyutunu belirler. N dişli bir dişlinin bölüm dairesi çapı d = m·N’dir, birbirine geçen iki dişlinin modülü aynıdır ve eksenler arası mesafeleri a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2’dir. Bölüm dairesi hızı v = π·d·n/60’tır ve teğetsel diş kuvveti torktan bulunur: F_t = 2T/d.

Toplam diş sayısı

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·180/3 = 120

Orana göre bölün

N₁ = 120/(1 + 3) = 30

N₂ = 3·30 = 90

Cevap

N₂ = 90

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 444,4 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 960·50/72 = 666,7 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 666,7·24/36 = 444,4 rpm

Cevap

n_out = 444,4 rpm

toplam oran = 2,16 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: d = 53,86 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·500/(26000·0,03491) = 826381 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 53,86 mm

Cevap

d = 53,86 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 15,94 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·80)) = 15,94 mm

Cevap

d = 15,94 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 28,28 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((0 − 40)/2)² + −20²) = 28,28 MPa

Cevap

τ_max = 28,28 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = −21,75 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −10·0,6428 + −20·0,766 = −21,75 MPa

Cevap

τ_θ = −21,75 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,6046 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/117000 = 0,001209 = 1209 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001209·500 mm = 0,6046 mm

Cevap

δ = 0,6046 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 427,3 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,001, 0,0005) = 0,0005 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0005·8,545 × 10⁸ = 427257 N = 427,3 kN

Cevap

P_max = 427,3 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 31,09 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2000² = 31089 N = 31,09 kN

Cevap

P_cr = 31,09 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 21,93 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Cevap

σ_cr = 21,93 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,601

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·50) = 2828 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 1700/2828 = 0,601

Cevap

ζ = 0,601

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 9,549 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 80 = 90 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(90000/25) = 60 rad/s

f_n = 60/(2π) = 9,549 Hz

Cevap

f_n = 9,549 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design