Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Güç
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi
toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Statik çökmeden
ωn = √(g/δst)
Kritik sönüm
cc = 2√(km) = 2mωn
Sönüm oranı
ζ = c/cc
Sönümlü frekans
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar
k = k1 + k2
Seri yaylar
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
N1​ = 30, m = 4 mm

1440 rpm ile çalışan 5,5 kW’lık bir motor, 30 dişli ve 4 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet Ft değerini bulun.

P = 5,5 kWn = 1440 rpmN1 = 30m = 4 mm
Ft = N
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
A = 25B = 45C = 30D = 45

Bileşik bir dişli dizisinde, 960 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (25 diş) B dişlisini (45 diş) döndürüyor. C dişlisi (30 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (45 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.

nin = 960 rpmA = 25B = 45C = 30D = 45
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
d1​ = 60 mmd2​ = 30 mmT = 2000 N·mABC1 m1 m

Kademeli dolu bir çelik mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 60 mm ve uzunluğu 1 m; BC parçasının çapı 30 mm ve uzunluğu 1 m’dir. Serbest uç C’de 2000 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φC değerini derece cinsinden bulun.

T = 2000 N·md1 = 60 mm, L1 = 1 md2 = 30 mm, L2 = 1 mG = 80 GPa
φC = °
4.Millerin burulmasıZor
Td = ?

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 1500 dev/dk’da 30 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = −70σy​ = −10τxy​ = 30MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

σx = −70 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = −10σy​ = 10τxy​ = −60MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −10 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 25° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.

σx = −10 MPaσy = 10 MPaτxy = −60 MPaθ = 25°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 16 mmÇelik0,5 mP = 110 kN

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 110 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 40 mmAlüminyum2 mØ 20 mmAlüminyum1 mP = 70 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 70 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 6 m25 × 100 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 2,5 md = 20 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
k = 50 kN/mc = 760 N·s/mm = 8 kg

8 kg’lık bir kütle, rijitliği 50 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 760 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 8 kgk = 50 kN/mc = 760 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
k1​ = 20k2​ = 15k3​ = 60m = 50 kg

50 kg’lık bir kütle k₃ = 60 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 20 kN/m ve k₂ = 15 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.

m = 50 kgk1 = 20 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 60 kN/m
fn = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: Ft = 607,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T = P/ω = 5500/150,8 = 36,47 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 4·30 = 120 mm

Teğetsel kuvvet

Ft = 2T/d = 2·36,47/0,12 = 607,9 N

Cevap

Ft = 607,9 N
2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: nout = 355,6 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

nB = 960·25/45 = 533,3 rpm = nC

İkinci kademe

nout = 533,3·30/45 = 355,6 rpm

Cevap

nout = 355,6 rpm

toplam oran = 2,7 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φC = 19,14 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J1 = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 2 × 10⁶·1000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,01965 rad
φBC = 2 × 10⁶·1000/(80000·79522) = 0,3144 rad

Toplam burulma

φC = 0,01965 + 0,3144 = 0,334 rad = 19,14°

Cevap

φC = 19,14°
4.Millerin burulması

Cevap: d = 26,89 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Cevap

d = 26,89 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τmax = 42,43 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

στxyCτmax​

Mohr dairesinin yarıçapı

τmax = R = √(((−70 − −10)/2)² + 30²) = 42,43 MPa

Cevap

τmax = 42,43 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σθ = −52,39 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

σθ = 0 + −10·0,6428 + −60·0,766 = −52,39 MPa

Cevap

σθ = −52,39 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,368 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201,1 = 547,1 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 547,1/200000 = 0,002735 = 2735 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,002735·500 mm = 1,368 mm

Cevap

δ = 1,368 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 4,775 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 55,7 MPa
σ2 = 222,8 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 55,7·2000/70000 = 1,592 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 222,8·1000/70000 = 3,183 mm
δ = δ1 + δ2 = 4,775 mm

Cevap

δ = 4,775 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 9,995 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/3000² = 9995 N = 9,995 kN

Cevap

Pcr = 9,995 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 16,11 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/5 = 350

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Cevap

σcr = 16,11 MPa
11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,6008

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·8) = 1265 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/cc = 760/1265 = 0,6008

Cevap

ζ = 0,6008

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: fn = 3,346 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k1 ve k2 paraleldir. Bu çift k3 ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k12 = 20 + 15 = 35 kN/m
keq = 35·60/(35 + 60) = 22,11 kN/m

Doğal frekans

ωn = √(22105/50) = 21,03 rad/s
fn = 21,03/(2π) = 3,346 Hz

Cevap

fn = 3,346 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design