Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 0,75 kW’lık bir motor 18 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 45 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 0,75 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 18N₂ = 45η = 98%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1500 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (24 diş) B dişlisini (25 diş) döndürüyor. C dişlisi (25 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (60 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1500 rpmA = 24B = 25C = 25D = 60

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir çelik mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 30 mm ve uzunluğu 0,5 m; BC parçasının çapı 25 mm ve uzunluğu 0,5 m’dir. Serbest uç C’de 100 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Millerin burulmasıZor

50 mm çaplı dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. A’dan 0,8 m uzaklıktaki B’de 200 N·m tork, ondan 1,2 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 1500 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 50 mmT_B = 200 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,8 mBC = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). von Mises eşdeğer gerilmesi σ_vM değerini bulun.

σ_x = 40 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −40 MPa

σ_vM = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 200 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,2 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 80 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 145 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 145 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 50 kN/m olan bir yay üzerindeki 250 kg’lık bir kütlenin, 0,6 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 250 kgk = 50 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

40 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 60 kN/m, alttakinin k₂ = 20 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 4,974 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/150,8 = 4,974 N·m

Cevap

T₁ = 4,974 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 600 rpm

Birinci kademe

n_B = 1500·24/25 = 1440 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 1440·25/60 = 600 rpm

Cevap

n_out = 600 rpm

toplam oran = 2,5 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 1,384 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·500/(80000·79522) = 0,00786 rad

φ_BC = 100000·500/(80000·38350) = 0,0163 rad

Toplam burulma

φ_C = 0,00786 + 0,0163 = 0,02416 rad = 1,384°

Cevap

φ_C = 1,384°

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 11,35 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 200 = 1700 N·m

Her parçanın burulması

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1,7 × 10⁶·800/(26000·613592) = 0,08525 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·1200/(26000·613592) = 0,1128 rad

C ucunun burulması

φ_C = 0,08525 + 0,1128 = 0,1981 rad → |φ_C| = 11,35°

Cevap

φ_C = 11,35°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 6,264 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·20, 100 − −80) = 12,53°

Elemandaki açı

θ_p = 6,264°

Cevap

θ_p = 6,264°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_vM = 92,2 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 55 MPa, R = 42,72 MPa

σ₁ = 97,72 MPa, σ₂ = 12,28 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(97,72² − 97,72·12,28 + 12,28²) = 92,2 MPa

Cevap

σ_vM = 92,2 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 75,97 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·2827) = 6,431 × 10⁻⁷ mm/N

Yük

P = 0,2/2,632 × 10⁻⁶ = 75974 N = 75,97 kN

Cevap

P = 75,97 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 772,8 kN

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·8482 = 1,159 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,001, 0,0006667) = 0,0006667 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0006667·1,159 × 10⁹ = 772832 N = 772,8 kN

Cevap

P_max = 772,8 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,811 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/4000² = 2811 N = 2,811 kN

Cevap

P_cr = 2,811 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 58,82 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58,82 mm

Cevap

d = 58,82 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 136, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 1,801 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(50000/250) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,6²) = 1,801 Hz

Cevap

f_d = 1,801 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 15 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/20 → k_eq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m

Cevap

k_eq = 15 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design