Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
2900 rpm ile çalışan 11 kW’lık bir motor 12 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 16 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Motor milindeki tork T1 değerini bulun.
P = 11 kWn1 = 2900 rpmN1 = 12N2 = 16η = 97%
T1 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Açık bir kayış, merkezleri 600 mm arayla duran 125 mm’lik ve 200 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.
d1 = 125 mmd2 = 200 mmC = 600 mm
θ = °
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 1000 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
20 mm çaplı dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. A’dan 1 m uzaklıktaki B’de 750 N·m tork, ondan 0,8 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 400 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φC değerini derece cinsinden bulun.
d = 20 mmTB = 750 N·mTC = 400 N·mAB = 1 mBC = 0,8 mG = 26 GPa
φC = °
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −40 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = −40 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 90 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 20° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 90 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 400 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.
P = 300 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 25 kNparça 1: Ø35 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 30 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 30 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Rijitliği 200 kN/m olan bir yay üzerindeki 500 kg’lık bir kütlenin, 0,6 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı fd değerini Hz cinsinden bulun.
m = 500 kgk = 200 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Mekanik titreşimlerZor
25 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 60 kN/m, alttakinin k₂ = 12 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 25 kgk1 = 60 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T1 = 36,22 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/303,7 = 36,22 N·m
Cevap
T1 = 36,22 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: θ = 172,8 °
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış açısı
asin(0,0625) = 3,583°
Sarılma açısı
θ = 180 − 2·3,583 = 172,8°
Cevap
θ = 172,8°
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 7,124 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(80000·251327) = 0,1243 rad
φ = 0,1243·180/π = 7,124°
Cevap
φ = 7,124°
4.Millerin burulması
Cevap: φC = 4,209 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
İç torklar
TC’nin yönü pozitif alınmıştır.
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC − TB = 400 − 750 = −350 N·m
Her parçanın burulması
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = −350000·1000/(26000·15708) = −0,857 rad
φBC = 400000·800/(26000·15708) = 0,7835 rad
C ucunun burulması
φC = −0,857 + 0,7835 = −0,07346 rad → |φC| = 4,209°
Cevap
φC = 4,209°
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 58,31 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((−40 − 60)/2)² + 30²) = 58,31 MPa
Cevap
τmax = 58,31 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 94,67 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 55 + 35·0,766 + −20·−0,6428 = 94,67 MPa
Cevap
σθ = 94,67 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,204 mm
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5,883 × 10⁸ N
Kısalma
δ = 300000·400/5,883 × 10⁸ = 0,204 mm
Cevap
δ = 0,204 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 221 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 25,98 MPa
σ2 = 221 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 221 MPa
Cevap
σmax = 221 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 355,3 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1000² = 355306 N = 355,3 kN
Cevap
Pcr = 355,3 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 64,53 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 64,53 mm
Cevap
d = 64,53 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 173,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: fd = 2,546 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sönümsüz doğal frekans
ωn = √(200000/500) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3,183 Hz
Sönümlü doğal frekans
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,6²) = 2,546 Hz
Cevap
fd = 2,546 Hz
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 3,183 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/60 + 1/12 → keq = 60·12/(60 + 12) = 10 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(10000/25) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3,183 Hz
Cevap
fn = 3,183 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design