Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm ile çalışan 15 kW’lık bir motor 20 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 30 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 15 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 20N₂ = 30η = 98%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 2900 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (36 diş) B dişlisini (60 diş) döndürüyor. C dişlisi (36 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (45 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 2900 rpmA = 36B = 60C = 36D = 45

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

0,5 m uzunluğundaki dolu bir pirinç mil 2000 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 3°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 2000 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1500 dev/dk’da 15 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 15 kWN = 1500 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 355 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 25 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 45 kNparça 1: Ø30 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø20 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 50 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 50 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 10 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 5 çevrim sonra 2,1 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 10 mmx₅ = 2,1 mmn = 5

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle k₃ = 100 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 100 kN/m ve k₂ = 20 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 145,2 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Çıkış torku

T₂ = 98,79·30/20·0,98 = 145,2 N·m

Cevap

T₂ = 145,2 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 1392 rpm

Birinci kademe

n_B = 2900·36/60 = 1740 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 1740·36/45 = 1392 rpm

Cevap

n_out = 1392 rpm

toplam oran = 2,083 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: d = 47,26 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·500/(39000·0,05236) = 489708 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 47,26 mm

Cevap

d = 47,26 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 3,814 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·30/751193 = 3,814 MPa

Cevap

τ_max = 3,814 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −34,1 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 30/80,78 = 0,3714, sin 2θ_s = −75/80,78 = −0,9285

2θ_s = atan2(−75, 30) = −68,2°

Elemandaki açı

θ_s = −34,1°

kontrol: θ_s − θ_p = −34,1 − 10,9 = −45°

Cevap

θ_s = −34,1°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,906

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 75 MPa, R = 47,17 MPa

σ₁ = 122,2 MPa, σ₂ = 27,83 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 122,2 MPa

n = 355/122,2 = 2,906

Cevap

n = 2,906

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,592 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 25·1000/78,54 = 318,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/100000 = 0,003183 = 3183 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,003183·500 mm = 1,592 mm

Cevap

δ = 1,592 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,156 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1000/117000 = 0,5441 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·500/117000 = 0,6121 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,156 mm

Cevap

δ = 1,156 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 167,1 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1050² = 167104 N = 167,1 kN

Cevap

P_cr = 167,1 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 53,29 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 53,29 mm

Cevap

d = 53,29 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 187,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,04962

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/5)·ln(10/2,1) = 0,3121

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3121/√(39,48 + 0,09742) = 0,04962

Cevap

ζ = 0,04962

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 7,434 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 100 + 20 = 120 kN/m

k_eq = 120·100/(120 + 100) = 54,55 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(54545/25) = 46,71 rad/s

f_n = 46,71/(2π) = 7,434 Hz

Cevap

f_n = 7,434 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design