Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
İki paralel mil arasında 75 mm mesafe var. Bunlar 2,5 mm modüllü ve 2 : 1 hız düşürme oranlı bir çift düz dişliyle bağlanmalıdır. Pinyonun kaç dişi N1 olmalıdır?
a = 75 mmm = 2,5 mmi = 2
N1 =
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
1440 rpm’deki 1,1 kW’lık bir motor A dişlisini (20 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (50 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (12 diş), çıkış milindeki D dişlisini (45 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %98’dır. Çıkış torku Tout değerini bulun.
P = 1,1 kWnin = 1440 rpmA = 20B = 50C = 12D = 45ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 100 N·md = 25 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir çelik mil 750 rpm’de 20 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 50 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 1° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.
P = 20 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPaθallow = 1°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = 160 MPaσy = −10 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 30° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = −70 MPaσy = 110 MPaτxy = 10 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 85 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 80 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.
kesim 1: çelik, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.
L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
Rijitliği 40 kN/m olan bir yay üzerindeki 8 kg’lık bir kütlenin, 0,35 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı fd değerini Hz cinsinden bulun.
m = 8 kgk = 40 kN/mζ = 0,35
fd = Hz
12.Mekanik titreşimlerZor
100 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 25 kN/m ve k₂ = 60 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 100 kgk1 = 25 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: N1 = 20
Dişli geometrisi: m modülü diş boyutunu belirler. N dişli bir dişlinin bölüm dairesi çapı d = m·N’dir, birbirine geçen iki dişlinin modülü aynıdır ve eksenler arası mesafeleri a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2’dir. Bölüm dairesi hızı v = π·d·n/60’tır ve teğetsel diş kuvveti torktan bulunur: Ft = 2T/d.
Toplam diş sayısı
N1 + N2 = 2a/m = 2·75/2,5 = 60
Orana göre bölün
N1 = 60/(1 + 2) = 20
Cevap
N1 = 20
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Tout = 65,68 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Çıkış hızı
nout = 1440·(20/50)·(12/45) = 153,6 rpm
ωout = 2π·153,6/60 = 16,08 rad/s
Çıkış gücü ve tork
Pout = 1100·0,98² = 1056 W
Tout = Pout/ωout = 1056/16,08 = 65,68 N·m
Cevap
Tout = 65,68 N·m
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 11,49 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(39000·38350) = 0,2006 rad
φ = 0,2006·180/π = 11,49°
Cevap
φ = 11,49°
4.Millerin burulması
Cevap: d = 36,92 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m
Dayanım için çap
T = 254,6 N·m = 254648 N·mm
dτ = ∛(16·254648/(π·50)) = 29,6 mm
Rijitlik için çap
θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·254648/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 36,92 mm
Belirleyici çap
İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.
d = max(29,6, 36,92) = 36,92 mm
Cevap
d = 36,92 mm
Burada rijitlik belirleyicidir.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 98,62 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((160 − −10)/2)² + 50²) = 98,62 MPa
Cevap
τmax = 98,62 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = −16,34 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 20 + −90·0,5 + 10·0,866 = −16,34 MPa
Cevap
σθ = −16,34 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 12,68 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 85·1000/201,1 = 422,8 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 422,8/100000 = 0,004228 = 4228 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,004228·3000 mm = 12,68 mm
Cevap
δ = 12,68 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σ2 = 79,52 MPa
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Rijitlikler
k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 70000·706,9/200 = 247400 N/mm
2. kesimin payı
F2 = 80000·247400/352120 = 56208 N
Gerilme
σ2 = 56208/706,9 = 79,52 MPa (basınç)
Cevap
σ2 = 79,52 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 65,8 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 2·2500 = 5000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/5000² = 65797 N = 65,8 kN
Cevap
Pcr = 65,8 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: σcr = 15,67 MPa
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Atalet yarıçapı ve narinlik
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/10 = 210
Kritik gerilme
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa
Cevap
σcr = 15,67 MPa
11.Mekanik titreşimler
Cevap: fd = 10,54 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sönümsüz doğal frekans
ωn = √(40000/8) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Sönümlü doğal frekans
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,35²) = 10,54 Hz
Cevap
fd = 10,54 Hz
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 4,64 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 25 + 60 = 85 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(85000/100) = 29,15 rad/s
fn = 29,15/(2π) = 4,64 Hz
Cevap
fn = 4,64 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design