Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

4 ağızlı bir sonsuz vida 2900 rpm ile dönüyor ve 40 dişli bir sonsuz vida çarkını tahrik ediyor. Çarkın hızı n_w değerini bulun.

z = 4N_w = 40n = 2900 rpm

n_w = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 720 rpm ile dönen 120 mm’lik bir tahrik kasnağını 315 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 500 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,3 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 2000 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 315 mmC = 500 mmμ = 0,3T₁ = 2000 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

1,2 m uzunluğundaki dolu bir alüminyum mil 200 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 1,5°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 200 N·mL = 1,2 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

40 mm çaplı dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. A’dan 2,5 m uzaklıktaki B’de 750 N·m tork, ondan 0,5 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 1000 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 1000 N·mAB = 2,5 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). von Mises eşdeğer gerilmesi σ_vM değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 40 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile pirinç malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 400 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 60 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 1 kN/m olan bir yay üzerindeki 10 kg’lık bir kütlenin, 0,6 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk = 1 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

100 kg’lık bir kütle k₃ = 10 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 15 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_w = 290 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 2900·4/40 = 290 rpm

Cevap

n_w = 290 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 5,082 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Sarılma açısı

θ = 2,749 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,8247 = 2,281, T₂ = 2000/2,281 = 876,7 N

Güç

P = (2000 − 876,7)·4,524 = 5,082 kW

Cevap

P = 5,082 kW

3.Millerin burulması

Cevap: d = 43,53 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(26000·0,02618) = 352589 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 43,53 mm

Cevap

d = 43,53 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 79,58 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 750 = 250 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79,58 MPa

Cevap

τ_max = 79,58 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 54,08 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((0 − 90)/2)² + −30²) = 54,08 MPa

Cevap

τ_max = 54,08 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_vM = 129,6 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 30 MPa, R = 72,8 MPa

σ₁ = 102,8 MPa, σ₂ = −42,8 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(102,8² − 102,8·(−42,8) + (−42,8)²) = 129,6 MPa

Cevap

σ_vM = 129,6 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1700 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/201,1 = 198,9 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 198,9/117000 = 0,0017 = 1700 µε

Cevap

ε = 1700 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 24,33 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 60000·490874/616538 = 47771 N

Gerilme

σ₂ = 47771/1963 = 24,33 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 24,33 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 17,3 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3500² = 17303 N = 17,3 kN

Cevap

P_cr = 17,3 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 77,11 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Cevap

σ_cr = 77,11 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 1,273 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(1000/10) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,6²) = 1,273 Hz

Cevap

f_d = 1,273 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 1,44 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 30 + 15 = 45 kN/m

k_eq = 45·10/(45 + 10) = 8,182 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(8182/100) = 9,045 rad/s

f_n = 9,045/(2π) = 1,44 Hz

Cevap

f_n = 1,44 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design