Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

İki paralel mil arasında 81 mm mesafe var. Bunlar 1,5 mm modüllü ve 3,5 : 1 hız düşürme oranlı bir çift düz dişliyle bağlanmalıdır. Dişlinin kaç dişi N₂ olmalıdır?

a = 81 mmm = 1,5 mmi = 3,5

N₂ =

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1450 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (30 diş) B dişlisini (80 diş) döndürüyor. C dişlisi (32 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (50 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1450 rpmA = 30B = 80C = 32D = 50

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

40 mm çaplı dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. A’dan 1,2 m uzaklıktaki B’de 400 N·m tork, ondan 0,5 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 750 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 40 mmT_B = 400 N·mT_C = 750 N·mAB = 1,2 mBC = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −40 MPa ve σᵧ = −60 MPa’dır. En büyük asal gerilme −5 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = −40 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = −5 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = 0 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = −60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 300 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 40 kNparça 1: Ø25 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 40 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 40 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 15,4 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 40 mmx₁ = 15,4 mmn = 1

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle k₃ = 100 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 25 kN/m ve k₂ = 15 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N₂ = 84

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Toplam diş sayısı

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·81/1,5 = 108

Orana göre bölün

N₁ = 108/(1 + 3,5) = 24

N₂ = 3,5·24 = 84

Cevap

N₂ = 84

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 348 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 1450·30/80 = 543,8 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 543,8·32/50 = 348 rpm

Cevap

n_out = 348 rpm

toplam oran = 4,167 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 3,502 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·3000/(80000·613592) = 0,06112 rad

φ = 0,06112·180/π = 3,502°

Cevap

φ = 3,502°

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 6,971 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 400 = 350 N·m

Her parçanın burulması

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 350000·1200/(26000·251327) = 0,06427 rad

φ_BC = 750000·500/(26000·251327) = 0,05739 rad

C ucunun burulması

φ_C = 0,06427 + 0,05739 = 0,1217 rad → |φ_C| = 6,971°

Cevap

φ_C = 6,971°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 43,87 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (−40 + (−60))/2 = −50 MPa

R = σ₁ − C = −5 − (−50) = 45 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 10²) = 43,87 MPa

Cevap

τ_xy = 43,87 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = 30 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −−30·1 + −40·0 = 30 MPa

Cevap

τ_θ = 30 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 87,53 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2,183 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/4,57 × 10⁻⁶ = 87527 N = 87,53 kN

Cevap

P = 87,53 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,317 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 81,49 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 81,49·1000/200000 = 0,4074 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127,3·500/70000 = 0,9095 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,317 mm

Cevap

δ = 1,317 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,18 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Cevap

P_cr = 2,18 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 137,2 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 137,2 mm

Cevap

d = 137,2 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 291,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1502

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/1)·ln(40/15,4) = 0,9545

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9545/√(39,48 + 0,9111) = 0,1502

Cevap

ζ = 0,1502

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 6,015 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 25 + 15 = 40 kN/m

k_eq = 40·100/(40 + 100) = 28,57 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(28571/20) = 37,8 rad/s

f_n = 37,8/(2π) = 6,015 Hz

Cevap

f_n = 6,015 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design