Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 960 rpm ile dönen 125 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 500 N, gevşek tarafta 100 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 500 NT₂ = 100 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 1500 rpm ile dönen 125 mm’lik bir tahrik kasnağını 200 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 1000 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,35 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 1000 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 125 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 200 mmC = 1000 mmμ = 0,35T₁ = 1000 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1800 rpm’de 100 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = −30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

30 mm çaplı dolu bir mil, 1500 N·m tork ile birlikte 90 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 30 mmF = −90 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 50 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 40 kNparça 1: Ø25 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 5 çevrim sonra 6,1 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 40 mmx₅ = 6,1 mmn = 5

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 40 kN/m ve k₂ = 60 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 2,513 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 6,283 m/s

Güç

P = (500 − 100)·6,283 = 2513 W = 2,513 kW

Cevap

P = 2,513 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 6,461 kW

Sarılma açısı

θ = 3,067 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^1,073 = 2,925, T₂ = 1000/2,925 = 341,9 N

Güç

P = (1000 − 341,9)·9,817 = 6,461 kW

Cevap

P = 6,461 kW

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 3,831 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(39000·38350) = 0,06686 rad

φ = 0,06686·180/π = 3,831°

Cevap

φ = 3,831°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 42,41 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 530,5 N·m = 530516 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·530516/(π·60·0,5904)) = 42,41 mm

d_i = 0,8·42,41 = 33,93 mm

Cevap

d_o = 42,41 mm

Dolu bir mil d = 35,58 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 27,07 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = −40 MPa, R = √(10² + (−10)²) = 14,14 MPa

σ₁ = −25,86 MPa, σ₂ = −54,14 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(28,28, 25,86, 54,14)/2 = 27,07 MPa

Cevap

τ_abs = 27,07 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 226,4 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −90000/(π·30²/4) = −90000/706,9 = −127,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282,9 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = −63,66 MPa

R = √((−63,66)² + 282,9²) = 290 MPa

σ₁ = C + R = 226,4 MPa

σ₂ = C − R = −353,7 MPa

Cevap

σ₁ = 226,4 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 5,668 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/113,1 = 442,1 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 442,1/117000 = 0,003779 = 3779 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,003779·1500 mm = 5,668 mm

Cevap

δ = 5,668 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 353,7 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 81,49 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 353,7 MPa

Cevap

σ_max = 353,7 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 29,61 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3000² = 29609 N = 29,61 kN

Cevap

P_cr = 29,61 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 2,429 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/533,3² = 2,429 MPa

Cevap

σ_cr = 2,429 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,05975

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/5)·ln(40/6,1) = 0,3761

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3761/√(39,48 + 0,1415) = 0,05975

Cevap

ζ = 0,05975

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 100 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 60 = 100 kN/m

Cevap

k_eq = 100 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design