Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile dönen 150 mm’lik bir kasnak, %2,5 kaymayla bir kayış aracılığıyla 200 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 200 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1450 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (15 diş) B dişlisini (25 diş) döndürüyor. C dişlisi (12 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (32 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1450 rpmA = 15B = 25C = 12D = 32

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 dev/dk’da 15 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 15 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 90 MPa ve σᵧ = 100 MPa’dır. En büyük asal gerilme 140 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 90 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 140 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 1000 mm ve et kalınlığı 10 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 2 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 35° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 1000 mmt = 10 mmp = 2 MPaα = 35°

σ_n = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 75 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 15 kNparça 1: Ø35 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 20 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

5 kg’lık bir kütle, rijitliği 8 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 160 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 5 kgk = 8 kN/mc = 160 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 20 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 1053 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

1440·150/200 = 1080 rpm

Kaymayla

n₂ = 1080·0,975 = 1053 rpm

Cevap

n₂ = 1053 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 326,3 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 1450·15/25 = 870 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 870·12/32 = 326,3 rpm

Cevap

n_out = 326,3 rpm

toplam oran = 4,444 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,386 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·79522) = 0,02418 rad

φ = 0,02418·180/π = 1,386°

Cevap

φ = 1,386°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 8,3 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·25/575243 = 8,3 MPa

Cevap

τ_max = 8,3 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 44,72 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (90 + 100)/2 = 95 MPa

R = σ₁ − C = 140 − 95 = 45 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 5²) = 44,72 MPa

Cevap

τ_xy = 44,72 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 83,55 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2·500/10 = 100 MPa

σ_a = pr/(2t) = 50 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 50·sin²35° + 100·cos²35° = 83,55 MPa

Cevap

σ_n = 83,55 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,387 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/100000 = 0,002387 = 2387 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,002387·1000 mm = 2,387 mm

Cevap

δ = 2,387 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,6069 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,59·1500/100000 = 0,2339 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 74,6·1000/200000 = 0,373 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,6069 mm

Cevap

δ = 0,6069 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 200,9 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200,9 kN

Cevap

P_cr = 200,9 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 120,7 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 120,7 mm

Cevap

d = 120,7 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 397,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,4

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·5) = 400 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 160/400 = 0,4

Cevap

ζ = 0,4

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 50 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 20 = 50 kN/m

Cevap

k_eq = 50 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design