Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile dönen 125 mm’lik bir kasnak, %2,5 kaymayla bir kayış aracılığıyla 315 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 315 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (30 diş) 960 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (80 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (18 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 129,6 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 960 rpmA = 30B = 80C = 18n_out = 129,6 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 dev/dk’da 75 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −50 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −10 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 20° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) pirinç malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 300 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,5 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 400 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 40 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 30 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 5 kN/m olan bir yay üzerindeki 40 kg’lık bir kütlenin, 0,7 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk = 5 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 12 kN/m, alttakinin k₂ = 25 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 557,1 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

1440·125/315 = 571,4 rpm

Kaymayla

n₂ = 571,4·0,975 = 557,1 rpm

Cevap

n₂ = 557,1 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 50

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Ara mil hızı

n_B = n_C = 960·30/80 = 360 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 18·360/129,6 = 50

Cevap

N_D = 50

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 10,94 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(80000·15708) = 0,191 rad

φ = 0,191·180/π = 10,94°

Cevap

φ = 10,94°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 12,36 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Polar atalet momenti

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,432 × 10⁶·50/5,796 × 10⁶ = 12,36 MPa

Cevap

τ_max = 12,36 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 76,16 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−50 − 90)/2)² + 30²) = 76,16 MPa

Cevap

τ_max = 76,16 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 3,435 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = −35 + 25·0,766 + −30·−0,6428 = 3,435 MPa

Cevap

σ_θ = 3,435 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 145 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1,061 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,5/3,448 × 10⁻⁶ = 144997 N = 145 kN

Cevap

P = 145 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 10,13 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 70000·2827/400 = 494801 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 40000·494801/691150 = 28636 N

Gerilme

σ₂ = 28636/2827 = 10,13 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 10,13 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 160,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2800² = 160173 N = 160,2 kN

Cevap

P_cr = 160,2 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 43,15 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 43,15 mm

Cevap

d = 43,15 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 129,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 1,271 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(5000/40) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,7²) = 1,271 Hz

Cevap

f_d = 1,271 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 8,108 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/25 → k_eq = 12·25/(12 + 25) = 8,108 kN/m

Cevap

k_eq = 8,108 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design