Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1 ağızlı bir sonsuz vida 1440 rpm ile dönüyor ve 36 dişli bir sonsuz vida çarkını tahrik ediyor. Çarkın hızı n_w değerini bulun.

z = 1N_w = 36n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 3000 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (18 diş) B dişlisini (32 diş) döndürüyor. C dişlisi (16 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (36 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 3000 rpmA = 18B = 32C = 16D = 36

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 rpm’de 10 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 50 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 10 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

20 mm çaplı dolu bir mil, 500 N·m tork ile birlikte 100 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 20 mmF = −100 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 55 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 90 kNparça 1: Ø40 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø16 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 55 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 55 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 5 kN/m olan bir yay üzerindeki 40 kg’lık bir kütlenin, 0,7 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk = 5 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

10 kg’lık bir kütle k₃ = 30 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 20 kN/m ve k₂ = 60 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_w = 40 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 1440·1/36 = 40 rpm

Cevap

n_w = 40 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 750 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 3000·18/32 = 1688 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 1688·16/36 = 750 rpm

Cevap

n_out = 750 rpm

toplam oran = 4 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,847 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·79522) = 0,03224 rad

φ = 0,03224·180/π = 1,847°

Cevap

φ = 1,847°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 24,01 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·50·0,9375)) = 24,01 mm

d_i = 0,5·24,01 = 12 mm

Cevap

d_o = 24,01 mm

Dolu bir mil d = 23,49 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 43,09 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 75 MPa, R = √((−5)² + (−10)²) = 11,18 MPa

σ₁ = 86,18 MPa, σ₂ = 63,82 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(22,36, 86,18, 63,82)/2 = 43,09 MPa

Cevap

τ_abs = 43,09 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 196,7 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −100000/(π·20²/4) = −100000/314,2 = −318,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318,3 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = −159,2 MPa

R = √((−159,2)² + 318,3²) = 355,9 MPa

σ₁ = C + R = 196,7 MPa

σ₂ = C − R = −515 MPa

Cevap

σ₁ = 196,7 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 9,726 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/113,1 = 486,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 486,3/100000 = 0,004863 = 4863 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,004863·2000 mm = 9,726 mm

Cevap

δ = 9,726 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,298 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,62·500/200000 = 0,179 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 447,6·500/200000 = 1,119 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,298 mm

Cevap

δ = 1,298 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 49,35 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/5000² = 49348 N = 49,35 kN

Cevap

P_cr = 49,35 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 29,89 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·750²/(π³·200000))^(1/4) = 29,89 mm

Cevap

d = 29,89 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 100,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 1,271 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(5000/40) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,7²) = 1,271 Hz

Cevap

f_d = 1,271 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 7,434 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 20 + 60 = 80 kN/m

k_eq = 80·30/(80 + 30) = 21,82 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(21818/10) = 46,71 rad/s

f_n = 46,71/(2π) = 7,434 Hz

Cevap

f_n = 7,434 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design